一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．【详解详析】在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，又∠A +∠B +∠C ＝π 所以∠A =π6，∠B =π3，∠C =π2．由正弦定理可知：a ：b ：c ＝sin ∠A ：sin ∠B ：sin ∠C ＝sin π6：sin π3：sin π2=1：√3：2．故选：B ．2．【详解详析】设塔的顶层共有a 1盏灯， 则数列{a n }公比为2的等比数列， ∴S 7=a 1(1−27)1−2=381，解得a 1＝3． 故选：B ．3．【详解详析】因为a ＝80，b ＝100，A ＝30°， 根据正弦定理得：a sinA=b sinB，代入得到sin B =58，由于B ∈（0，π）， 所以B ＝arcsin 58或B ＝π﹣arcsin 58故选：C ．4．【详解详析】数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，…的一个通项公式为a n =(−1)n (2n −1)． 故选：C ．5．【详解详析】等比数列{a n }中，每项均是正数，a 5a 6＝81，可得a 5a 6＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝a 1a 10＝81， 则log 13a 1+log 13a 2+log 13a 3+⋯+log 13a 10=log 13(a 1a 2a 3⋯a 10)=log 13(a 5a 6)5=5log 1381=−20．故选：B ．6．【详解详析】由B ＝45°，C ＝60°可得A ＝75°， ∵B 角最小，∴最短边是b ， 由csinC =bsinB 可得，b =csinB sinC=sin45°sin60°=√63， 故选：A ．7．【详解详析】在△ABC 中，∵b cos C ＝a ， ∴由余弦定理可得：cos C =ab =a 2+b 2−c 22ab，整理可得：a 2+c 2＝b 2，∴利用勾股定理可得△ABC 的形状是直角三角形． 故选：C ． 8．【详解详析】∵S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5，T 9=9(b 1+b 9)2=9b 5，∴a 5=19S 9，b 5=19T 9， 又∵当n ＝9时，S 9T 9=910，∴a 5b 5=S 9T 9=910，故选：C ．9．【详解详析】∵据S 8S 4=3，（q ≠1），若q ＝1可得据S8S 4=2≠3，故q ≠1，∴a 1(1−q 8)1−q a 1(1−q 4)1−q=1−q 81−q 4=3，化简得1﹣q 8＝3（1﹣q 4），可得q 8﹣3q 4+2＝0，解得q 4＝1或2，q ≠1，解得q 4＝2， S 16S 4=1−q 161−q 4=1−241−2=15．故选：D ．10．【详解详析】∵﹣1，a ，b ，﹣4成等差数列， ∴3（b ﹣a ）＝﹣4+1＝﹣3 ∴d ＝b ﹣a ＝﹣1∵﹣1，c ，d ，e ，﹣4五个实数成等比数列， ∴d 2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，d ＝（﹣1）q 2＜0， ∴d ＝﹣2， 则b−a d=−1−2=12．故选：C ．11．【详解详析】因为 a 1+a n ＝a 2+a n ﹣1＝a 3+a n ﹣2， 所以3（a 1+a n ）＝94+116＝210， 所以a 1+a n ＝70， 所以S n =n(a 1+a n )2=n×702=280，所以n ＝8． 故选：D ．12．【详解详析】在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n ， 可得a n ＝2n ﹣1，S n =a 12−a 22+a 32−a 42+⋯+a 2n−12−a 2n 2＝1﹣4+16﹣64+…+42n ﹣2﹣42n ﹣1 =1−(−4)2n 1−(−4)=15（1﹣42n ）=15（1﹣24n ）．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．【详解详析】在△P AB ，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60， sin15°＝sin （45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=√22⋅√32−√22⋅12=√6−√24． 由正弦定理得：PB sin30°=ABsin15°，∴PB =ABsin30°sin15°=30（√6+√2），∴树的高度为PB sin45°＝30（√6+√2）×√22=（30+30√3）m ．故答案为：（30+30√3）m ． 14．【详解详析】∵S n ＝7n +n(n−1)2d ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，∴{S 7＜S 8S 9＜S 8，即{49+21d ＜56+28d63+36d ＜56+28d ，解得：{d ＞−1d ＜−78，综上：d 的取值范围为（﹣1，−78）． 15．【详解详析】由正弦定理可得√2c−a=sinA sinB+sinC =ab+c ， ∴c 2﹣b 2=√2ac ﹣a 2， ∴c 2﹣b 2+a 2=√2ac ， ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√22， ∵0＜B ＜π， ∴B =π4， 故答案为：π4．16．【详解详析】由a n +1＝S n •S n +1，得：S n +1﹣S n ＝S n •S n +1， 即1Sn+1−1S n=−1，∴数列{1S n}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，则1S n=−1−(n −1)=−n ，∴S n =−1n ．∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−1n +1n−1=1n(n−1)． n ＝1时上式不成立， ∴a n ={−1，n =11n(n−1)，n ≥2．故答案为：{−1，n =11n(n−1)，n ≥2．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．【详解详析】（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C ＜π，∴sin C ≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）＝sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）＝sin C ， 即2cos C sin （π﹣（A +B ））＝sin C 2cos C sin C ＝sin C ∴cos C =12，∴C =π3；（Ⅰ）由余弦定理得7＝a 2+b 2﹣2ab •12， ∴（a +b ）2﹣3ab ＝7， ∵S =12ab sin C =√34ab =3√32， ∴ab ＝6，∴（a +b ）2﹣18＝7， ∴a +b ＝5，∴△ABC 的周长为5+√7．18．【详解详析】（1）∵{a n }等差数列，由S9＝9a5＝81，得a5＝9．又由a3+a5＝14，得a3＝5．由上可得等差数列{a n}的公差d＝2．∴a n＝a3+（n﹣3）d＝2n﹣1．（2）证明：由b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(1(2n−1)−1(2n+1))．得T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)＜12．19．【详解详析】（Ⅰ）由a n+2＝2a n+1﹣a n+2得，a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n+2，由b n＝a n+1﹣a n得，b n+1＝b n+2，即b n+1﹣b n＝2，又b1＝a2﹣a1＝1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅰ）由（Ⅰ）得，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，由b n＝a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n＝2n﹣1，则a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝5，…，a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1＝1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1=(n−1)(1+2n−3)2=（n﹣1）2，又a1＝1，所以{a n}的通项公式a n＝（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+2．20．【详解详析】AB＝30×4060=20，BC＝30×8060=40．在△ABP中，∠A＝120°，∠ABP＝30°，∠APB＝30°，∴BP=ABsin∠APB •sin∠BAP=20sin30°sin120°＝20√3．在Rt△BCP中，PC =√BC 2+BP 2=√402+(20√3)2=20√7． ∴P 、C 间的距离为20√7（海里）．21．【详解详析】（Ⅰ）因为数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，2a n +1＝S n +1． 所以：2a 2＝S 1+1=a 1+1=32，解得：a 2=34．所以：2a 3＝S 2+1＝a 1+a 2+1=94， 解得：a 3=98．（Ⅰ）因为2a n +1＝S n +1， 所以：2a n ＝S n ﹣1+1，（n ≥2） 则：2a n +1﹣2a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝a n ， 所以：a n+1a n=32．由于：a2a 1=32，则：数列{a n }是首项a 1=12，公比是32的等比数列．所以：a n =12(32)n−1．因为b n ＝2a n ﹣2n ﹣1， 所以：b n =(32)n−1−2n −1． 所以：T n ＝b 1+b 2+…+b n ，=(32)0−3+(32)1−5+⋯+(32)n−1−2n −1，=[(32)0+(32)1+⋯+(32)n−1]−（3+5+…+2n +1）， =(32)n −132−1−n(2n+4)2，=2⋅(32)n −n 2−2n −2．所以数列的前n 项和为：2⋅(32)n −n 2−2n −2．22．【详解详析】（1）设a 1＝a ，由题意可得{10a +45d =100ad =2，解得{a =1d =2，或{a =9d =29，当{a =1d =2时，a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ﹣1； 当{a =9d =29时，a n =19（2n +79），b n ＝9•(29)n−1；（2）当d ＞1时，由（1）知a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ﹣1， ∴c n =a nb n=2n−12n−1，∴T n ＝1+3•12+5•122+7•123+9•124+⋯+（2n ﹣1）•12n−1，∴12T n ＝1•12+3•122+5•123+7•124+⋯+（2n ﹣3）•12n−1+（2n ﹣1）•12n ， ∴12T n ＝2+12+122+123+124+⋯+12n−2−（2n ﹣1）•12n=3−2n+32n，∴T n ＝6−2n+32n−1．。