创意平板折叠桌数学建模竞赛获奖创意平板折叠桌摘要本文围绕着平板折叠桌的最优加工参数问题，设计了不同的模型和算法。
主要利用几何分析和空间向量运算，运用MATLAB软件，模拟了折叠桌的动态变化过程，求解出了给定条件下的加工参数，并给出了桌脚边缘线的数学描述。
问题一，折叠桌的圆形桌面存在外截和内截两种不同的截法。
经计算得到：圆形桌面的最外侧桌腿长度150()l h cm>=，因此排出外截法，并记录了内截法下桌面内各木条的长度。
分析了桌腿木条开槽产生的机理（见图5），并由勾股定理求出了桌子在收纳和展开两种状态下，钢筋所处的位置（槽线纵坐标），得出了桌腿木条开槽长度等于两个状态下钢筋的位置之差。
利用MATLAB软件求解出了桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数（见表1）及桌腿末端点的空间坐标（见表2），模拟出了折叠桌的动态变化过程（见图7，程序见附录1）。
问题二，从稳固性、加工方便、用材最少三个方面考虑。
首先分析切割与和开槽的总费用，求出当其最小时，木条的最优宽度。
然后对桌子受力分析得到：当桌腿水平方向总的合力为零时，折叠桌的稳固性最好。
设比例系数k为钢筋位于在最外侧桌腿处的长度与最外侧桌腿长度之比，求解k与各加工参数的关系。
根据木板长度与k的关系，求出当0.65k=时，木板长度最小，木板尺寸为168.58803cm cm cm⨯⨯，此时桌子的耗材最少。
最后利用MATLAB软件模拟此桌子从平铺状态运动到稳定状态的变化过程。
问题三，在空间坐标系中，首先根据用户要求，建立了最接近客户所期望形状的数学描述模型，求出了任意尺寸平板的桌腿木条长度与平板长度和钢筋到圆心距离的函数关系。
根据空间三维向量的运算关系，推出了桌角边缘线与钢筋到桌面的距离和钢筋到桌腿末端距离的参数方程，并以该参数方程为桥梁，在满足客户的要求前提下，以产品的稳固性、加工方便、用材最少为目的，求出平板折叠桌的尺寸。
在该模型下，本文设计出了心形的折叠桌，并给出了10张动态变化示意图。
关键词：折叠桌最优加工参数动态变化桌脚边缘线开槽长度一、问题重述某公司发明了一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
建立数学模型讨论以下问题：1. 假设给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
试建立模型模拟此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 建立数学模型，使得该模型可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
并根据所建立的模型设计几个创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，并画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、问题分析2.1背景介绍折叠结构是近年来应用越来越广泛的一种可展开结构形式。
折叠结构具有位形的不确定性，它可以由一种紧密的收缩状态逐步转变为完全展开的结构体系[1]。
从结构特性上，折叠结构可以分为柔性折叠结构和刚性折叠结构。
对柔性折叠结构的研究主要有程涵等人[2]，采用单元坐标空间转换方法建立了降落伞直接折叠模型。
本题的研究对象创意平板折叠桌是刚性折叠结构。
解文静等人[3]分析了在不同领域，按照不同标准可展结构的划分，如从概念上将其分为折叠结构（foldable structure）、充气结构及索膜结构(inflatable structure &cablemembrane structure)、张拉整体结构(tensegrity structure)及开合结构(retractable structure)四大类，而按展开机理又可以分为剪式单元结构，单元在弹簧或电机的驱动下伸长缩，可展材料在外力作用下展，及刚性板单元折叠重合在节点的作用下展开或者刚性板单元旋转展开（如可开合结构等）。
折叠结构形形色色，种类繁多，但现阶段应用最广的是剪式结构，因此，对剪式可展结构的研究较多，如文献[4][5]，而对可开合结构等的研究较少。
可开合结构中，Rising Side Table是Rising系列的最新作品[6]。
经过之前的设计实践，这件作品更注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。
分析折叠桌的加工参数可以为设计师提供最优加工方案。
2.2问题分析本题是分析创意平板折叠桌加工参数问题，问题一至问题三，是由特殊到一般的过程。
问题一是针对给定长方形平板尺寸及桌子高度等信息情况下，模拟折叠桌的动态变化过程，并给出加工参数。
首先，圆形桌面的截法分为外截和內截两种，不同的截法，得到的加工参数不同，因此，可以根据截取的约束条件，选出正确的桌面截取方案。
桌子有两个极端状态，收纳状态（初始水平状态）和展开状态（稳定状态），桌腿木条开槽长度应为两个状态下钢筋的位置之差。
然后，根据各桌腿长度与倾角可以求出桌腿末端点的空间坐标。
利用MATLAB 软件求解出桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数，并可以模拟出桌子的动态变化过程。
问题二是对任意给定的折叠桌高度和圆形桌面的直径，分析最优设计加工参数。
可以从桌子的稳固性和加工费用两方面考虑。
由于加工费用主要由切割费用和开槽费用组成，因此，先将总加工成本分解为切割费用与开槽费用之和，再分析取得最低成本情况；对桌子受力分析，可以得到最优稳定状态条件。
在最低成本和最优稳定状态基础之上，得到的加工参数即为最优加工参数。
问题三是建立模型，可以根据顾客要求确定加工参数。
在空间坐标系中，由转动中心的坐标可以表示桌腿木条的长度。
通过空间三维的向量运算关系可以推出桌角边缘线的参数方程。
根据参数方程，对客户任意设定的折叠桌高度、桌脚边缘线的形状等要求，可以求解出最优加工参数。
三、 模型假设1.假设平板折叠桌都是用木制的，除了钢筋之外；2.假设木制各处都是均匀的；3.假设加工完美，使得各个桌腿木条都是直线，不存在弯曲的情况；4.假设钢筋的韧性良好；5.在计算最优木条宽度时，假设木条的最佳宽度为：()1121 2.5wk w cm k -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6.假设木条之间的接缝很小，相对于木板的宽度可以忽略，且加工过程中木条宽度也不减小；7.假设木条间、木条与钢筋间、木条与桌面之间接触面光滑，或摩擦力可以忽略不计，使木条能自由移动。
四、模型建立与求解折叠结构是近年来应用越来越广泛的一种可展开结构形式。
折叠结构具有位形的不确定性，它可以由一种紧密的收缩状态逐步转变为完全展开的结构体系[1]。
为了合理使用材料，增大有效使用面积，有必要对折叠桌的加工参数进行分析，并对其变化过程进行计算机仿真模拟，建立数学模型，以便更好地进行折叠桌设计，从而为创意平板折叠桌设计提供更好的办法。
4.1问题一的模型建立4.1.1模型准备1.桌面的两种截法平板折叠桌的圆形桌面是从矩形木板上截取而得的，据分析可知，圆形桌面有外截和内截两种不同的截法，如下图1和图2所示。
图1：圆形桌面外截示意图（ａ）（ｂ）图2：圆形桌面内截示意图将木条按由左到右的顺序，从1到20进行编号，该编号也是桌腿的编号（一组桌腿），图1和图2中的点O是圆形桌面的圆心。
如上图1所示，外截法的圆形桌面与木条1和20是相切的。
左边：设桌面与木条2的两个交点分别为Ａ、C，分别过Ａ、C点作木条1的垂线，则该垂线即为1号木条的截痕，即桌面与桌腿1铰链的位置，依次过桌面与木条3的交点作木条2的垂线，直至第10号木板，各个垂线即为木条的截痕。
右边从20号木条依次向左直至10号木条，即分别从左右两边进行。
图2中，2(b)是2(a)中圆形桌面与矩形相交处的放大图。
内截法的圆形桌面与木条１同样有两个不同交点Ａ、Ｃ，分别过Ａ、Ｃ两点作木条２的垂线，该垂线就是1号木条的截痕，即为内截法的桌面与桌腿1铰链的位置，同理，分别过木条2与桌面的两个交点作木条3的垂线，该垂线即为桌面与桌腿2铰链的位置，依次截到第10号木条为止。
同理，20号木条向左截，直至10号木条为止。
2.方案选取为了判断两种不同圆桌面截法的正确性，本文根据已知条件，设定了桌面截取的约束条件：已知折叠后桌子的高度为53cm ，长方形平板的厚度为3cm 。
因此，长方形平板完全展开成折叠桌后的实际高度应为()53-3=50h cm =，而最外侧的桌腿即1号（或20号）桌腿的长度1l 应满足不等式条件：150()l h cm >=。
（1）外截法（图1）：圆桌面的半径OA 等于长方形宽的一半，即50252OA cm ==，圆心O 到第一根木条的距离OB 等于圆半径减去木条的宽，即50 2.522.52OB cm =-=，则在直角三角形Rt OAB ∆中，由勾股定理得：5025210.9050 2.522.52OA cm AB cm OB cm ⎧==⎪⎪⇒==⎨⎪=-=⎪⎩ 则1l 大小为长方形平板长的一半减去AB 的值，即112010.9049.10502l cm cm =-=< 这说明，外截法中最外侧桌腿即桌腿1（或桌腿20）的长度1l 比折叠桌的高度小，不满足圆形桌面截法的约束条件。
因此，外截法不合理，不予考虑。
（2）内截法（如图2所示）：由于桌面圆心到矩形各边的距离（如1,OB OB ）相等，且等于矩形宽的一半（25cm ），即125OB OB cm ==；OA 与1OA 相等等于圆桌面的半径（设为r ），即1OA OA r ==。
则在直角三角形11Rt OAB OA B ∆∆与Rt 中：111125OB OB cm Rt OAB OA B OA OA r==⎧⇒∆≅∆⎨==⎩Rt 则11AB A B =，同时11A B 的值即为一根木条的宽，即可得出11 2.5AB A B cm ==。
因此，内截法中桌腿1的长度1l 是长方形平板长度的一半减去木条1在圆形桌面内长度的一半（即AB 的长），即1120 2.557.5502l cm h cm =-=>=。
可得出，内截法满足圆形桌面截法的约束条件，即该方法是合理的。
同时，我们记录了内截法下，圆形桌面内各木条的长度()1,2,,10n L n =，如下图3所示：图3：桌面木条长度示意图在直角三角形11Rt OA B ∆中，由勾股定理得：1111 2.525.1225A B cm OA r cm OB cm=⎧⇒===⎨=⎩ 即圆形桌面的半径为r=25.12cm 。