承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要折叠桌更注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。

首先，为了更好地描述折叠桌的动态变化过程，我们分别建立了折叠桌的平面状态模型和立体状态模型。

通过解析折叠桌从平面状态模型到立体状态模型的动态变化，我们得到了L区域的木条边缘端点的坐标解析式为x D z x Z x x D x X y Y O O +⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--==)600()(600，并通过Matlab 的曲线拟合得到具体的三维图形。

其次，借助折叠桌的平面状态模型和立体状态模型，我们通过折叠桌的结构稳定分析和结构受力分析，求出了最优的受力结构的表达式。

这些表达式满足对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，都能讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

最后，我们通过流程图给出了软件设计的过程，并画出了自己设计的创意平板折叠桌的9张动态变化过程的示意图。

关键词： 曲线拟合 结构 边缘线一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：1. 根据题目给定的长方形平板尺寸，试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型假设（1）不存在测量上的误差；（2）沿木条有空槽以保证滑动的自由度；（3）能够将实际的构件抽象为线段以忽略构件的宽度和体积的大小；（4）模型一中所有的杆件的材料不影响计算结果，且其受力均匀；（5）忽略木条与木条之间的空隙。

三、符号说明四、问题分析在问题一中，根据题目所给的资料和动画视频，我们可以知道折叠桌的初始状态是一块可进行折叠的长方形木板。

木条通过铰链旋转，改变自身的形体结构，从而使之变成一台成形的桌子。

于是，我们将整个过程分解为一个初状态，一个变化过程，一个末状态。

根据题目所给的尺寸，分别建立模型解析初、末状态时的折叠桌，从中可得出各构件的尺寸大小和所处的空间位置以及其他的设计参数。

在问题二中，我们通过对问题一的解决，可以明晰地知道桌子的设计原理，从中可总结模型求解所得的结果，之后可以得出折叠桌设计的一般规律。

从而从特殊到一般，得出不同尺寸大小桌子的设计参数。

在问题三中，由于软件的设计，原理上是运算程序的设计。

即输入决定桌子外形的参数，软件通过一系列的运算，得出桌子所有部件的设计参数。

因此我们先将软件的设计分为前端、中端和后端三部分。

前端是数据输入端，将客户对桌子的要求转化为各个输入参数；中端是运算的核心，是将输入参数代入运算程序中运行，并得出各构件的设计参数；后端是设计结果的输出。

五、模型建立与求解5.1平面状态模型建立与求解5.1.1模型建立由题意我们可知，折叠桌为一个有着动态变化的物体，于是我们将折叠桌分解成对三个状态下的求解。

首先，我们对折叠桌的初始状态进行了分析，得到如下的示意图（如图5-1），从中可以看出整一个桌面及两侧桌脚均由20根木条拼接而成，桌面圆的直径为d=500mm。

将整一个桌子分为三部分，分别记为L、M、R。

将各木条从下往上按1~20排号。

L部分的为L1~L20；M部分的为M1~M20；R部分的为R1~R20。

L和R为相互对称的部分。

图5-1忽略木的的宽度和体积，将木条抽象为与之等长的线段，其所在位置穿过木条的几何截面。

将图5-1放置于坐标系中进行分析。

以桌面的圆心为坐标原点，木条的方向平行于x方向，建立直角坐标系。

如图5-2所示：图5-2通过以上的假设和坐标系的建立，可以得到序号为n的木条中心线所在的位置的y 坐标值为：--=⨯25-yn=n5.2625.(251210)而桌面上各木条的端点均在一个圆周上，于是可以通过木条端点的坐标值来求出木条的长度。

根据圆的几何特性，可得：4222d y x =+换算得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--=>-=-+0;40;42222x y d x x y d x 代入木条的序号，求出桌面上各木条端点的坐标值为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--=>-=-+0;40;42222x y d x x y d x i i i i ， 其中]20,1[∈i ○1求L 部分木条长度l : 由于L 部分各木条左端x 的坐标值均为-600，右端x 的坐标值为-i X 故序号为i 的木条i l 的长度为：600)600(+=--=--i i Li x x l○2求M 部分木条长度l : 由于M 部分各木条左端x 的坐标值均为-i X ，右端的x 坐标值为+i X 故序号为i 的木条Mi 的长度为：-+-=i i Mi x x l○3求R 部分木条长度l ： 由于R 部分各木条左端的x 坐标值均为+i X ，右端的x 坐标值为600，故序号为i 的木条i l 的长度为+-=i Ri x l 6005.1.2模型求解根据5.1.1中建立得出的各部分的木条长度的公式，代入10,3,2,1，=n ，计算得出折叠桌各部件的长度（mm )如表5-1-所示。

用C 语言程序编程来计算折叠桌各部分的长度，输入源程序（见附录1）得出输出结果如图5-3所示。

用Matlab 命令来计算折叠桌各部分的长度。

输入源命令得到输出结果如图5-4所示： 由上经对比可知，用CAD 画图计算得到折叠桌各部分的长度与用C 语言编写程序以及用Matlab 命令输出的结果是一样的，由此可见这个模型的精确度比较高。

表5-1序号L M R 序号L M R1 521.94 156.12 521.94 11 350.32 499.37 350.322 468.31 263.39 468.31 12 352.83 494.34 352.833 434.64 330.72 434.64 13 357.94 484.12 357.944 410.05 379.97 410.05 14 365.82 468.37 365.825 391.21 417.58 391.21 15 376.75 446.51 376.756 376.75 446.51 376.75 16 391.21 417.58 391.217 365.82 468.37 365.82 17 410.05 379.97 410.058 357.94 484.12 357.94 18 434.64 330.72 434.649 352.83 494.34 352.83 19 468.31 263.39 468.3110 350.32 499.37 350.32 20 521.94 156.12 521.94图5-3图5-45.2立体状态模型建立与求解5.2.1模型建立折叠桌折叠成形后应视为一个三维实体，而原来构成模型的二维坐标系已无法满足要求，木条的宽度和厚也不能忽略不计。

故把木条当成实体构件，在三维坐标系下求解。

图5-5为了方便起见，在建立模型时将桌子倒立放置，以二维模型为基础，建立三维坐标系，将XOY 平面提至桌子的桌面。

由题目所给的信息可知，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，桌子的高度H 为mm H 530=。

设桌子的厚度δ为mm 30=δ。

构造出的木桌大致折叠情况如下图5-5所示：设最外侧木条与地面所成的锐角为α，则有：1sin l H δα-=1sin r l H c a δα-=由于钢条是垂直于XOZ 平面的，木条折叠所在的平面平行于XOZ 平面，故可以暂不考虑y 的取值。

将分别靠近x 轴正负方向的两根钢条分别记做-+Q Q ,，得到式子如下：2)(cot δα--=--H x x Q 2)(δ+=-H z Q 2)(cot δα--=++H x x Q 2)(δ+=+H z Q上式表现为如图5-6中右图中的Q 点，点Q 与钢条实际的中心仍有一定的距离。

在Q 点的基础上考虑木条厚度的影响，计算出钢条中心的真正的坐标。

图5-6由木条在钢条铰接点的放大图（即图5-6中的左图）中，可以清晰地看出：2sin δα•-=--Q O x x 2cos δα•-=--Q O z z 2sin δα•+=++Q O x x 2cos δα•-=++Q O z z如下图5-7所示，先根据已求出的桌面下表面木条端点的坐标与钢条中心的坐标，求出两点的坐标，再用勾股定理求出钢条中心在木条方向上距离铰接端点的距离。

图5-7钢条中心距离木条端点的距离： L 部分：22225.0)()(δδ--+-=----O i O z x x DR 部分：22225.0)()(δδ--+-=++++O i O z x x D为求解各木条的开槽长度及开槽所在的位置，须求出钢条在各木条从初状态变化到末状态钢条在木条上走过的路径。