章末检测试卷(五)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应答案 A2．“复数z是实数”的充分不必要条件为()A．|z|＝z B．z＝zC．z2是实数D．z＋z是实数考点复数的概念题点复数的概念及分类答案 A解析由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2等于()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案 A解析∵a，b∈R，a＋i＝2－b i，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.4．若复数z满足z1－i＝i，其中i是虚数单位，则z等于()A．－1－i B．1＋iC ．1－iD ．－1＋i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 C 解析 z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i.5．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．i(1＋i)2D ．i(1＋i)考点 复数的乘除法运算法则题点 复数的乘除法运算法则答案 A解析 A 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数；B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数；C 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝2i 2＝－2，不是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选A.6．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 因为z 1＋z 2＝(a －3)＋(4＋b )i 为实数，所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝(a ＋4i)－(－3＋b i)＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数，所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.7．已知复数z ＝－12＋32i ，i 为虚数单位，则z ＋|z |等于( ) A ．－12－32i B ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 考点 复数加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D解析 因为z ＝－12＋32i ， 所以z ＋|z |＝－12－32i ＋ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322 ＝12－32i. 8．已知i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( )A ．1 B.22 C.32 D.12考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 B解析 ∵z (i ＋1)＝i ，∴z ＝i i ＋1＝i (1－i )2＝12(1＋i)， 则|z |＝22. 9．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12 B ．－12 C.12i D ．－12i 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 ∵i 4＝1，∴i 2 016＝(i 4)504＝1，∴z ＝11－i＝1＋i 2，则z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12. 10．已知关于复数z ＝21＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 D解析 z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ， p 1：|z |＝1＋(－1)2＝ 2.p 2：z 2＝(1－i)2＝－2i.p 3：z 的共轭复数为1＋i ，真命题．p 4：z 在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.11．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z 1·z 2是实数，则z 2等于( )A ．1－12i B ．1＋12i C.12＋i D.12－i 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 B解析 由z 1＝2＋i ，得z 1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i(b ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)·(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1)i.又z 1·z 2为实数，所以2b －1＝0，b ＝12. 所以z 2＝1＋12i. 12．若A ，B 是锐角三角形ABC 的两内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋(sin B －cos A )i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 ∵A ，B 是锐角三角形ABC 的两内角，∴A ＋B >π2，① 由①得A >π2－B . ∵A ，B 为锐角三角形ABC 的内角，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，π2－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又正弦函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ，∴cos B －sin A <0.又由①可得B >π2－A ， ∴同理可得sin B >sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ， 即sin B >cos A ，∴sin B －cos A >0，∴z 在复平面内所对应的点在第二象限．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知i 是虚数单位，若a ＋3i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，则ab 的值为________． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的方程问题答案 －3解析 ∵a ＋3i i＝b ＋i ，∴a ＋3i ＝(b ＋i)i ， 则a ＋3i ＝－1＋b i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3. 14．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 14解析 z ＝－14(3－i)，|z |＝12，∴z ·z ＝|z |2＝14. 15．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________.考点题点答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.又∵z 1·z 2是实数，∴4t －3＝0，即t ＝34. 16．下列说法中正确的是________．(填序号)①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 ⑤解析 由y ∈∁C R 知，y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0， 解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0， 解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(12分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求z 的共轭复数z ；(2)若az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的方程问题解 (1)因为z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝1＋i ， 所以z ＝1－i.(2)由题意得a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋a i ＝1－i.解得a ＝－1，b ＝2.19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．考点 转化与化归思想在复数中的应用题点 转化与化归思想的应用解 因为z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ， z 2＝a －2＋i ，所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， 所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．20．(12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m ∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数． (1)求实数m 的值；(2)求z 1·z 2的值．考点 复数加减法的运算法则题点 复数加减法的综合应用解 (1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1＋12i ， ∵z 1＋z 2是纯虚数，∴⎩⎨⎧ m 2＋2m －3＝0，1m ＋1＋12≠0，则m ＝1.(2)由(1)得z 1＝1＋12i ，z 2＝－1＋12i ，则z 2＝－1－12i ， ∴z 1·z 2＝⎝⎛⎭⎫1＋12i ⎝⎛⎭⎫－1－12i ＝－⎝⎛⎭⎫1＋12i 2＝－⎝⎛⎭⎫34＋i ＝－34－i. 21．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.综上，△ABC 的面积为1.22．(12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.。