近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=
（1324），则
3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。
2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为----一一映射-------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使
得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为-右单位元-------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---消去律成立------。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是--交换环--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、设E 是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E 中的运算，（E ，•）是一个代数系统，问（E ，•）是不是群，为什么？
答：（E ，•）不是群，因为（E ，•）中无单位元。
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。
解 ：方法一、辗转相除法。
列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若<G ，*>是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b 。
证明 ：设e 是群<G ，*>的幺元。
令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b 。
所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解。
若x '∈G 也是a*x ＝b 的解，则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x 。
所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解。
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。
证明：容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。
若m︱a–b也记为a ≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶
B、3 阶
C、4 阶
D、 6 阶
2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（）
A、（N,≤）
B、（Z,≥）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））
D、 (P(A),⊆)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）
A、(1)，(123)，(132)
B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123)
D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---唯一-----的，每个元素的逆元素是----唯一----的。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1--a --------。
3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是--2-----。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——24————————。
5、环Z 8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H 的右、左陪集的个数--相等--------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---商群------。
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的---特征--------。
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为
---n m -----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 解： 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
S 1+S 2也是子环吗？
证： 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：
因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，
因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例：
3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；
2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b
这就是说μ=R ，证毕。
2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。
证： 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，
所以b=a-1。