§4·3 矩阵的特征值和特征向量
定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数
l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征
值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量
AX=lX
AX-lX =O (A-lE)X=O
即不论l取何值，方程AX=lX一定有解
特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0 A的对应于l0的特征向量：方程AX l0 X的非零解
得 l1 =-2， l 2 = l 3= 7（二重根） 则A的特征值为l 1 =-2，l 2 = l 3= 7
把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，得
(A +2E)X=O
5 2 4 x1 0 2 8 2 x2 0 4 2 5 x3 0
5 2 4 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 2 0 0 A 2 8 2 0 2 8 2 0 0 0 0 0` 0 0 0 0
则其特征方程可表示为：
, lm为其特征值组，
l l1 k1 l l2 k2
l lm km 0
则ki称为li的代数重数(重数)，而li 特征子空间的维数
称为几何重数(度数)。
di dimVi
显然： k1 k2
di ki
km n
【例1】求
A
2 5
3 4
的特征值
解：A lE 2 l 3 2 l 4 l 15 l2 6l 7
2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系
V1、V2、…、Vs
3） A的属于特征值li 的特征向量为： c1V1 c2V2 csVs
c1, c2 ,, cs 是不全为零任意常数
【例2】求矩阵
A
1 4
Байду номын сангаас1 3
0 0
的特征值与特征向量
解：
1 0 2
1 l 1 0
A lE 4 3 l 0 2 l 1 l 3 l 4 2 l 1 l 2
对 x1 x2 0 ，取 x2 1 ，得一个基础解系V 11 则方程(A-4E)X=O的全部解为：
cV cc c为任意常数
A的属于l=4
的特征向量：cV
c c
c≠0
1、求n阶方阵A的特征值：
数l0是A的特征值
l0使方程AX= lX有非零解
l0使方程A lEX O有非零解
n元齐次方程组A lEX O有非零解 A lE 0
例如：对
A
3 5
11 ，取 l=4，代入方程AX= lX
得 AX= 4X
(A-4E)X=O
A
4E
3 5
11
4 0
0 4
1 5
15
(A-4E)X= O
1 5
15
x1 x2
0 0
x1 x2 5x1 5x2
0 0
5xx1 15xx22
0 0
x1 x2 0 有非零解
所以，l=4是矩阵A的一个特征值
1 0 2l
得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根） 则A的特征值为l1 =2，l2 = l3= 1
把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得
(A -2E)X=O
3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 1 0 0 x3 0
3x1 4x1
x2 x2
0 0
x1 0
x1 x2
0 0
0
取 x3
1
,得一基础解系
V1
0
于是，A的属于l1
1
=2的全部特征向量为：c1V1
c1
0 0,
c1
0
把l2= l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得
1
(A-E)X=O
2 1 0 x1 0 4 2 0 x2 0 1 0 1 x3 0
2 1 0 0 行变换 2 1 0 0
A 4 2 0 0
0 0 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1
取 x1 1得一基础解系
V2 2
2x1
x2
0
x1 x3 0
x2 x3
2x1 x1
1
1
于是，A的属于l2=1的全部特征向量为：c2V2
c1
2
,
c
2
0
1
【例3】求矩阵
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式
l0使 A lE 0成立 l0是特征方程 A lE 0的根
A lE
(2)令 A l E 0
解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
3 A 2
2 6
4 2
的特征值与特征向量
4 2 3
解：
3 l 2 4 3 l 2 4 3 l 2 1 l
A lE 2 6 l 2 2 6 l 2 2 6 l 4
4 2 3 l 7 l 0 7 l 7 l 0 0
7 l 8 1 l 6 l 2 l 7 l 2
5 4l
令 A lE 0， 得 l1 =-1，l2 =7 则A的特征值为l1 =-1，l2 =7
2、求A的属于特征值l的特征向量
设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解. 即方程(A-liE)X=O有非零解，
A的对应于特征值li的特征向量: 方程组(A-liE)X=O的全部非零解
步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O 得一齐次线性方程组(A-liE)X=O
Anjn
j1 j2 jn
(a11 l)(a22 l) (ann l)
(1)n l n
fn l
则方程 A lE 0 即 fn l 0是l的n次方程
在复数域上，方程 A lE 0一定有 n个根。
A lE fn l
A的特征多项式
方程 A lE 0
A的特征方程
定义 2 设A为n阶方阵，l1, l2,
a11 l
AlE
a21
a12 a22 l
an1 an2 ann
an1
an2
a1n
a2n
ann
l
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a1n
A11 A12
A1n
a2n A21 A22
A2n
an1
an 2
ann l An1 An2
Ann
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
4 2 5 0 4 2 5 0 0 18 9 0 0 2 1 0
5
A
2 4
2 8 2
4 2 5
0
0 0
1 0
0
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x21 x22xx2 300