由B可逆便知：x1, , xn 都是非零向量，因而都是A的特征
向量，且 x1, , xn 线性无关。
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容易证明相似矩阵的如下性质：
（1）反身性，即 A A 证明 I1AIA
（2）对称性，即如果 A B, 则 B A
证明 P1APB (P1)1B P1A
（3）传递性，即如果 A B, B C , 则A C
证明 P 1 A P B ,Q 1 B Q C
(P Q ) 1A (P Q )C
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定理3 设 n阶 方 阵 A(aij)nn的 n个 特 征 值 为 1,2, ,n
(重 特 征 值 按 重 数 算 ), 则 有
(1) 12 nA
(2) 12 na11a22 annt（ rA） ,
证 (1 )由 于 1,2, ,n 为 A 的 特 征 值 ,故 |IA |( 1)( 2) ( n)
P1APB P1APBP1 APB
BP1 PAP1PAA
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3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)
P1APB tr(B)tr(P1A P)tr(A P P 1)tr(A )
4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 TH5
P1APB
B I P1API P1(AI)P
tr(BA)
s
n
b jia ij
j 1 i1
ans 故 tr(A B )tr(B A )
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相似矩阵的性质
若A和B相似，则
BP 1A P ,P 可 逆 。
1. A和B有相等的秩。
证明（1） P1APB R (P 1A P )R (B )
R (A )R (B )
2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)
求矩阵的特征值与特征向量的步骤 (AI)x0
1.求矩阵A的特征方程 AI 0
2.求特征方程的根，即特征值
3.对每个特征值 i 解方程组
(AiI)x0
求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量
便得属于 i 的全部特征向量。
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例2：求矩阵的特征值和特征向量
2 1 1
1
A
I
0
4
1 3 1
1 0 4
r3
r2
4r1
3
1
0
0
1 1 3
1
0
0
r1 r2
r3 3r2
1
0
0
0 1 0
1
0
0
对 得应 基础于 解1 系 11 的 （ 1全 ， 0部 ， 1） 特 T征 向 量 为 k （ 1 k 0 ） 得基础解
当 2 3 2 时 ， 解 方 程 （ A 2 I ） x 0 系
12 na11a22 ann=tr(A)
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定理4
设 A 是 n 阶方阵，
( A ) a 0 I a 1 A a m A m ,
若 为 A 的特征值，则
() a 0 a 1 a mm
是 ( A ) 的特征值.
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n
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APP P1AP
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必要性
设A相似于对角矩阵
d1
D
dn
即存在可逆矩阵B，使得 B1ABD
B(x1, ,xn)
B1ABD A BB D A ( x 1 , ,x n ) ( d 1 x 1 , ,d n x n )
A x 1 d 1 x 1 , ,A x n d n x n
Axx
称 是 矩 阵 A 的 特 征 值 ( e i g e n v a l u e ) ， 称 x 是 矩 阵 A 的 对 应 于 特 征 值 的 特 征 向 量
( e i g e n v e c t o r ) 。
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2 1 1
例1
A
4
0
2
3 2 4
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证明：设x为A对应于的一个特征向量，则有
a0Ixa0x
a1Axa1x, a2A2xa2Axa2Axa22x
amAmxammx,
以 上 各 式 两 端 求 和 ， (A )x ()x ， 即 ()是 (A )的 特 征 值 。
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设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求
（1） A的主 对角线元素之和
（2） A
(3) A2AI
解 a 1 1 a 2 2 a 3 3 1 2 3 1 2 36
A123 1 2 36
A2AI 的特征值依次为 1113, 22217, 323113
A 2 A I 3 7 1 3 2 7 3
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命题1 非 零 n 维 向 量 x 是 n 阶 方 阵 A 的 特 征 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 向 量 A x 与 x 共 线 。
命题2 如 果 x 是 矩 阵 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 则 k （ x k 0 ） 也 是 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。
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方阵的迹定义3.4
n
设 方 阵 A (a ij)n n ,称 a 1 1 a 2 2 a n na ii为 A 的 迹 ，
记 作
n
tr(A) aii i1
i 1
方阵的迹是它的主对角线上的元素和
例5
2 A 0
4 9 3 5
1 6 0
tr(A)=2+(-3)+0=-1
A
0
2
0
4 1 3
解 A的特征多项式为
2 1 1
AI 0 4
2
1
0 (2)2
3
4
1
3
( 2 ) ( 2 6 4 ) ( 2 ) ( 2 2 )
(1)(2)2
A的特征值为 1 1 , 23 2
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当 1 1 时 ， 解 方 程 （ A I ） x 0
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3.2.1 相似矩阵及其性质
定 设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，
义 使得 3.3
P1APB
～ 则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,
记做A
B.
（1）反身性 A相似于A
性 质
（2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A
（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。
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性质： (1) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
(2) tr(AB)=tr(BA) (性质3.1)
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性质3.1 (2) 设 A(aij)ns, B(bij)sn, 则
证明
a11 a12
a
21
a22
an1 an 2
b11 b12
b21
b22
bs1 bs 2
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0 ， A x 1 x ， A x 2 x
1x2x0 （1x2） 0x012 0
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怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
Axx 要 求 实 数 与 非 零 向 量 x .
(AI)x0
它有非零解的充分必要条件是
P1 AI P AI
推论 如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角 矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特 征值。
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易证 对角形矩阵
1
2
n
则 1,2, ,n
是 的全部特征值。
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3.2.2 矩阵的对角化
定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充 分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
充分性
设 A 的 n 个 特 征 向 量 x 1 , ,x n 线 性 无 关 ，
它 们 对 应 的 特 征 值 分 别 是 1 , ,n ,则
Ax1 1x1, ,
Axn nxn
A ( x 1 x n ) (1 x 1 n x n )
记 P(x1
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1
xn)
2
28
4
A2I
0
1 0
1 0
r3
r1
4 1 1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
1
1
3
0
4
对 应 于 2 3 2 的 全 部 特 征 向 量 为