(d)
l
(c)
X 1=1
X 2=1
1
1 1/l
M 1图
2/l
M 2图
(e) ql 2/8
MP 图
解：绘出 M 1 图、 M 2 图和 M P 图,由此可求得系数和自由项。(注意，求 Δ1C 和 Δ 2C 时， 应在基本结构中求)
δ 12
1 2 ql 2 1 ql 3 1 1 1 l ； Δ 2P = × ×l × × = ； = × ×1× l × = EI 3 8 2 24 EI EI 2 3 6 EI
Δ 2Δ ， Δ 2C = − (从 b 图中可以根据概念快速求出， Δ1C 是 AB 杆转角， Δ 2C l l
； Δ2 = 0 。
Δ 1C =
是 AB、BC 杆的相对转角） ；
Δ1 = θ
六． 试不经计算绘出图示刚架弯矩图的大致形状。
(a)
I
J
(b)
I
J
EI=常数
E F G K
l
FP
FP
E
l
F
= 0 整体对 C 取矩 ⇒ M A = 16qa 2
（2）分析 CGEB 部分（图 b） 。 同理 FxD = 6.5qa (← ) 。
∑M
C
= 0 ⇒ FxE = 6.5qa(→) ；
利用以上结果可绘出结构弯矩图如图 c。 三． 试用单位荷载法求图示结构由图中支座位移引起的 C 点竖向位移。
1 (a) C F A D
k11 = 10i ； F1P = 10kN ⋅ m 代入上式 10iΔ1 + 10 = 0 ⇒ Δ 1 = −
（3）绘制弯矩图。根据 M = M 1 Δ 1 + M P 即可绘制如图 e 所示：
1 i
五． 采用图中选定的基本结构用力法求解图示结构时，试填写表中列出的力法方程系数和 自由项。力法方程：
ω2 =
ω1 = 2.092
（2）求振型。
EI ml 3
， ω2
= 4.756
EI ml 3
Δ2=1
3i/l
Y k 12 Y11 k 12 =− = − 0 .847 ， 12 = − = 1 .181 2 2 Y 21 Y 22 k 11 − m1ω 1 k 11 − m1ω 2
3kN/m D
8kN
C
4m
A
4m
B
4m 1m
B
(c) 4i
3i
Δ1=1
(d) E 4
6
8
3i
2i
M 1图
8 3 6 4
MP 图
(e)
2
M图
解：原图等效为 b 图（由于 AC 杆只有轴力，故可将其用一链杆代替） （1）确定基本体系并建立平衡方程： k11 Δ1 + F1P = 0 （2）求系数和自由项，绘出 M 1 图和 M P 图，由此可得
a 1m
(b)
E
G
2m
1m
1/2
1/2 1/2
B
2m 2m 2m b
1/2
解：a、b 为支座位移， Δ cy = −
∑ F C = −( − 2 × a − 2 × b) =
R
1
1
a+b (↓) 2
四． 试用位移法求解图示刚架，并绘制弯矩图，设各杆 EI=常数
(a)
3kN/m E D
8kN
(b) C
48 EI y=0 35ml 3
自振频率 ω =
&+ω2y = 0 ⇒ & &+ 运动方程 & y y
簧刚度 k N =
八． 试求图示刚架结构的自振频率和阵型，忽略杆件自身质量和轴向变形，已知 B 支座弹
5 EI 。 l3
(b)
Δ1=1
k 21 3i/l Δ1=1
(a) C
EI 1 =∞
m D
6i/l
k 11
EI 1 =∞
6i/l
EI 1 =∞
EI EI
3i/l
EI
A
l
EI
B 6i/l
l
变形图1
k 22
M1 图
(c)
Δ2=1
1/l
4i/l 4i/l
k 12
EI 1 =∞
1/l
1/l
EI 1 =∞
EI EI
3i/l
Δ2=1
2i/l
变形图2 k N ×1 M2 图 解：本题有两个自由度，假设水平方向为 1 方向，竖直方向为 2 方向。用刚度法解。
⎧ ⎪ δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + Δ 1P + Δ 1C = Δ 1 ⎨ ⎪ ⎩δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + Δ 2 P + Δ 2C = Δ 2
δ 12 =
Δ1C =
Δ 2P =Δ 2C =来自Δ1 =(a)
θ
Δ2 =
(b)
X1
q EI Δ l l EI
X2
B
C Δ
A l
2qa2
1.5qa2
2qa2
6.5qa2 11qa 2 13qa 2 16qa 2 5qa2
16qa 2
M图
解： （1）先分析整体。由 支座反力 FR A = 2 2qa 。 再由
∑ X = 0 可知 A 支座处的水平反力为 2qa(←)，因此 A
∑Y = 0 ⇒ F ∑M
A
RB
− 6qa − 2qa = 0 ⇒ FR B = 8qa (↑)；
同济大学 2006 年硕士生入学考试结构力学试卷 一． 求图示桁架 C 支座反力和杆件 1 的轴力
(a) C
a
(b)
F NDF
D G
a
C F
F NC F
F RC
FP F1
C
F NC G
F
FP D
E
a
FP D
E
1 A
a a a a
1 A B
B
解：首先判断零杆，分析可知杆 FB、DB、AG 均为零杆，去除零杆后，原结构变为如 图 b 所示。用结点法，取 D 结点分析
EI
C
l
l
5l/8
M图
l
M图
解：本题虽然有两个质量，但只有一个自由度，即水平振动。
δ＝
1 ⎛ 1 3l l 1 5l 2l ⎞ 7l 3 ×⎜− ×l × × + ×l × × ⎟ = EI ⎝ 2 8 3 2 8 3 ⎠ 48EI 1 48EI 48EI = = 3 mδ 5m × 7l 35ml 3
（1）求自振频率。先画出 M 1 、 M 2 图，则易得刚度系数
k11＝
15i 9i 7i 12i ， k12＝k 21＝ 2 ， k 22＝ 2 + k N = 2 2 l l l l k k k k − k12 k 21 ⎤ 1 ⎡ k11 k 22 + ) ± ( 11 + 22 ) 2 − 4( 11 22 )⎥ ⎢( 2⎢ m m m m m m ⎥ 1 2 1 2 1 2 ⎣ ⎦
= FN CF = − 2 FP
(↓)
2 ( FN CF + FN CG ) + FRC = 0 ⇒ FRC = 2 FP 2
(b)
二． 试求解图 a 所示刚架，并绘制弯距图。
q D 2qa C G
2a
3qa E
a
FxE
F
8qa2
C
8qa2
MA
A
F RA
2a a a 2a
B
F RB
a
F RB
(c)
∑X =0⇒ ∑Y = 0 ⇒
2 FN DF + FP = 0 ⇒ FN DF = − 2 FP 2 2 FN DF − F1 = 0 ⇒ F1 = − FP (压力) 2
由结点 F 易知， FN CF = FN DF = − 2 FP 再取 C 结点分析
∑ X = 0 ⇒F
∑Y = 0 ⇒
(a)
N CG
G
K
A
l
B
l
C
l
D
A
B
C
D
(c)
I
J
(d)
I
J
FP
E
F
G
K
E
F
G
K
A
B
C
D
A
B
C
D
M图形状
解：在结点E、F、G、I和J处各加上一附加刚臂后，结构承受荷载FP作用。画出此时的 变形图（图b）,也不难绘出相应的MP图形状，如图c所示。 （1）横梁M图形状的确定。根据图（b）中所示各刚臂上约束反力矩的方向，可知原结 构在荷载FP的作用下，结点E、F、G和I将发生顺时针转动，而结点J发生逆时针转动。由此 可知，横梁EF的E端顺时针转动，下侧受拉；而F端也顺时针转动，上侧受拉；横梁GK的G 端和IJ的I、J端均为下侧受拉，据此可绘出各横梁的M图形状。 （2）竖柱M图形状的确定。根据结构在荷载FP作用下的变形及结点弯矩平衡条件，可 判断出竖柱各杆端的受拉侧。 根据以上分析：绘出刚架 M 图的大致形状如图 d 所示。 七． 试列出图 a 所示刚架结构作自由振动时的运动方程，并求出自振频率，忽略杆件自身 重量和轴向变形。 (a) (b) (c) 4m m 1 3l/8 A 1 EI B