2-1什么是线性系统？其最重要特性是什么？答：如果系统的数学模型是线性的，这种系统就叫做线性系统。

线性系统最重要的特性，是适用于叠加原理。

叠加原理说明，两个不同的作用函数（输入），同时作用于系统所产生的响应（输出），等于两个作用函数单独作用的响应之和因此，线性系统对几个输入量同时作用而产生的响应，可以一个一个地处理，然后对它们的响应结果进行叠加。

2-2 分别求出图（题2-2）所示各系统的微分方程。

)()(t f t y km(a ))(t y )(t f 21k k m(b )c c 12m x x io(c )1k 2k oix x c(d )ioc(e )解：)(a )()()(t f t ky t y m =+ )(b )()()()(21t f t y k k t y m =++⋅⋅⋅⋅+=-02010))((x c x m c x xc i 212110)()()()(K K s K K c csK s X s X d i ++= 02010)())((x K c x xK x x e i i =-+-⋅⋅2-3 求图（题2-3）所示的传递函数，并写出两系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼比ξ的表达式。

x ix ockm(a )Cu u oiLR(b )解：图)(a 有：mk s m c s mk s G ++=2)( m k n =ω mkC2=ξ 图)(b 有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=⎰⎰idt C V idt C R L V i i i 110∴ LCs L R s LC s G 11)(2++=LC n 1=ω LCR 2=ξ 2-4 求图（题2-4）所示机械系统的传递函数。

图中M 为输入转矩，m C 为圆周阻尼，J为转动惯量。

（应注意消去θθ ,及θ ） x题2-4解：由已知可知输入量M 与输出量θ之间的关系为：M k C J m =++θθθ经拉氏变换后为：)()()(2s M k s s C s Js m =++θθθ∴ 222222/11)()()(nn nm m s Jk s J C s J k s C Js s M s s G ωξωωθ++=++=++== 其中，J k n =ω JkC m2=ξ2-5 已知滑阀节流口流量方程式为)/2(v ρωp x c Q =，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；ω为节流口面积梯度；ρ为油密度。

试以Q 与p 为变量（即将Q 作为p 的函数）将节流阀量方程线性化。

解：如果系统的平衡工作状态相应于Q p ,，那么方程)/2(v ρωp x c Q =可以在(Q p ,)点附近展开成Taylor 级数：+-∂∂+-∂∂+==222)(!21)()()(p p pfp p p f p f p f Q 式中 ,,22dpfd dp df 均在p p =点进行计算。

因为假定p p -很小，我们可以忽略p p -的高阶项。

因此，方程可以写成)(P P k Q Q -+=或)(p p k Q Q -=-式中 )(p f Q = p p dpdfk ==因此，方程)](2/)/2(2[)/2(v p p p p x c p x c Q v -+=ρωρω就是由方程)/2(v ρωp x c Q =定义的非线性系统的线性化数学模型。

2-6试分析当反馈环节1)(=s H ,前向通道传递函数)(s G 分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入，输出的闭环传递函数。

解：∵ )()()()(s G s H s G s G B =惯性环节：1)(1+=Ts ks G ∴ kTs kTs k Ts k s G B ++=+++=1)1/(1)1/()(微分环节：Ts s G =)(2 ∴TsTss G B +=1)( 积分环节：Tss G 1)(3= ∴ Tss G B +=11)( 2-7证明图（题2-7）所示两系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

ox ix c ()a (b )解：根据图)(a 的已知内容可得：11R C I I I += ①011V IR R V i += ②⎰+=idt C i R V 2201③ ⎰=dt i C IR R C 11111④ 由②有：11R V V i i R -=③求导：220C i i R V += ②求导：010111V c i V R i R V C i +=+= 10)(1C V V i i C -= 101)(11C V V R V V i i i i i C R -+-=+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=10102101020)(1)(C V V R V V C C V V R V V R V i i i i ∴ 1)(1)()()(1122212121221121210+++++++==s C R C R C R s R R C C s C R s C R s R R C C s V s V s G i根据图b)可得：⎩⎨⎧=--=-+-1110101002)()()()(x k x x C x x C x x k x x C i i i ∴1)(1)()()()()()(21221122121221122121211112212212112212210+++++++=+++++++==s k C k C k C s k k C C s k C k C s k k C C k k s k C k C k C s C C k k s k C k C s C C s X s X s G i 2-8 若系统方框图如图（题2-8）所示，题2-8求：（1） 以)(s R 为输入，当0)(=s N 时，分别以)(s C ,)(s Y ,)(s E 为 输出的闭环传递函数。

（2） 以)(s N 为输入，当0)(=s R 时，分别以)(s C ,)(s Y ,)(s E 为 输出的闭环传递函数。

解：（1） 由已知得： )()(1)()(s H s G s G s G B +=以)(s C 为输出： HG G G G s R s C s G B 21211)()()(+==以)(s Y 为输出： H G G G s R s Y s G o B 2111)()()(+==以)(s E 为输出： HG G s R s E s G o B 2111)()()(+==（2）以)(s C 为输出：HG G G G H G G s N s C s G B 2121221)(1)()()(+=--==以)(s Y 为输出：HG G HG G H G G HG G s N s Y s G o B 212121121)(1)()()(+-=---==以)(s E 为输出：HG G HG H G G H G s N s E s G o B 2122121)(1)()()(+-=---==2-9 求出图（题2-9）所示系统的传递函数)(/)(i o s X s X 。

题2-9解：系统的传递函数为 )()(1)()()()(0s G s G s G s G s X s X C c i +=3-1 时间响应由哪两个部分组成？各部分的定义是什么？答：根据工作状态的不同，把系统的时间响应分为瞬态响应和稳态响应。

系统稳定时，它的自由响应称为瞬态响应，即系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。

而稳态响应一般就是指强迫响应，即当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。

3-2 设温度计能在1分钟内指示出实际温度值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数。

如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10℃/min 的速度线性变化，求温度计示值的误差是多大？解1：依题意可得已知条件为1=t 分，98.0)(=t C 而一阶系统的传递函数为11)()(+=Ts t R t C 即 )(11)(s R Ts s C +=在上述第一问中，要求温度计在1分钟内指示出响应值的98%，这相当于对温度计输入一个单位阶跃。

亦即 )(1)(t t r =则 s s R 1)(=11111)(+-=⋅+=Ts Ts s Ts s C 即 ]11[)]([)(11+-==--Ts T s L t C L t c T te Ts L s L ----=+-=1]11[]1[11将1=t 分及98.0)(=t C 代入上式可得Te 1198.0--=即 02.098.011=-=-Te将上式两端取自然对数化简后得秒分36.15256.09.3102.0lg 3.21==--=-=T解2：在第二问中已知澡盆温度以分/10线性变化，说明输入函数t At t r 10)(==，为斜坡函数，此时温度计的误差为)()()()(t c At t c t r t e -=-=而当 At t r =)( 时2)(sA s R =即 ]11[11)(11)(222++-=⋅+=+=Ts T s T s A s A Ts s R Ts s C 则 ]11[)()(211211++-==----Ts T L s T L s L A s C L t C)(]1111[1121T tTe T t A Ts TL s TLs L A ----+-=++-= 即 )1()()(Tt Tt e AT Te T t A At t e ---=+--=将已知和已求得之值数1=t 分、256.0=t 分、10=A 代入上式即可求得温度计的误差为)(53.298.0256.010)(上式为近似计算 =⨯⨯=t e 。

3-3 已知系统的单位阶跃响应为10t t02.12.01)(---+=e et x ，试求：（1）该系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ξ和无阻尼固有频率n ω。

解：（1）求解闭环传递函数)(s Φ由已知条件，当输入为单位阶跃信号时]2.12.01[)]([1)()(106000t t e e t x ss s X ---+℘=℘=Φ= 1012.16012.01+⨯-+⨯+=s s s 则)10)(60()60(2.1)10(2.0)10)(60(102.1602.01)()(0+++-++++=+-++==Φs s s s s s s s s s s s s sX s 6007060060070722.122.06007022222++=++--++++=s s s s s s s s s s （2）求解阻尼比ζ和无阻尼固有频率n ω 将闭环传递函数化为二阶振荡环节的标准形式2222260070600)(n n ns s s s s ωζωω++=++=Φ 根据对应关系可得 ⎪⎩⎪⎨⎧==7026002n n ζωω解得 s rad n /5.24=ω，43.1=ζ。