(x1, x2, x3)T 0
从而对偶问题为
4 min w Yb ( y1, y2 ) 1 4 y1 y2
4 1 －1
YA ( y1, y2 ) 1 －7
5
(4 y1 y2, y1 7 y2， y1 5y2 ) (5, 2, 3)
min Z 4 y1 y2
4 y1 y2 5
min
w
6 y1
8y2
10 y3
约束, 即
5yy1175yy22
y3 3 y3
4
3
yi 0, i 1,2,3
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ： 定义：
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
【例3.2】写出下列线性规划的对偶问题
max Z (5, 2,3)(x1, x2, x3)T
max Z 5x1 2x2 3x3
4x1x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1, x2, x3 0
【解】设Y=(y1，y2 )， 则有
4
1
1 7
1
5
x1 x2 x3
4 1
y1y1 7
y2 2 5 y2 3
y1 0, y2 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x1 35x2x2108 x1 0, x2 0
【解】该线性规划的对偶问题是求最 小值，有三个变量 且非负, 有两个“ ≥”
min w Yb
AX b
(3.1)
YA C
(3 .2)
X
0
Y 0
线性规划问题(3.2)就是原线性规划问题(3.1)的对偶线性规划问题，反之，(3.2)的对偶 问题就是(3.1)．
( 原问题与对偶问题有如下关系 假设原问题 (3.1))：
(1)原问题的约束个数(不含非负约束)等于对偶变量的个数
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
设y1，y2，y3分别表示三种资源的单位增值价格(售价＝成本 ＋增值)，总增值最低可用
min w=36y1+40y2+76y3
表示。企业生产一件产品甲用了四种资源的数量分别是3，5和9个单位，利润是32, 企 业出售这些数量的资源所得的利润不能少于32，即
3.1 线性规划的对偶模型
Dual Model of LP
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
例3.1 (原例1.1)某工厂生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C 三种不同的设备上加工。企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利 润最大？
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
•解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，Z为总利润，则数
学模型为：
max Z 32x1 30x2 3x1 4x2 36 5x1 4x2 40 9x1 8x2 76 x1, x2, x3 0
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业不考虑自己生产产品，而 将现有的资源标价出售， 问题：决策者应怎样给定资源一个合理的价格？
min w ( y1, y2, y3)(36, 40, 76)T
3 5 9
(
y1,
y2
,
y3
)
4
4
8 (32,30)
( y1, y2, y3) 0
max Z CX
AX b
X
0
min w Yb YA C Y 0
max Z CX
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
min w 36y1 40y2 76y3
3 4
y1 y1
5 y2 4 y2
9 y3 8 y3
32 30
yi 0, i 1, ,3
max Z (32, 30)(x1, x2 )T
3 4 x1 36
5 9
4
x2
40
8 x3 76
(x1, x2 )T 0
3x1 4x2 36 5x1 4x2 40 9x1 8x2 76 x1, x2, x3 0
注：以上两问题是同一组数据参数，只是位 置有所不同，所描述的问题实际上是从两个 不同的角度去描述。原始线性规划问题考虑 的是充分利用现有资源，以产品数量和单位 产品的利润来决定企业的总利润，没有考虑 资源的价格，实际上在构成产品的利润中， 不同的资源对利润的贡献也不同，它是企业 生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学中 称为影子价格。
9 8
y3 y3
32 30
yi 0, i 1, ,3
这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划模型是前面生产计划模型的对偶线性规划 模型, 这一问题称为对偶问题。生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题或原问 题。
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
max Z 32x1 30x2
同理，对产品 乙有
3y1 5y2 9y3 32
4 y1 4 y2 8y3 30
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
价格不可能小于零，即有yi≥0(i=1, …,4), 从而企业的资源价格 模型为
min w 36y1 40y2 76y3
3 4
y1 y1
5 y2 4 y2
运筹学
Operations Research
Chapter 3 对偶理论
Dual Theory
3.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP
3.2 对偶性质
Dual property
3.3 对偶单纯形法
Dual Simplex Method
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
(2)原问题的目标函数系数对应于对偶问题的右端项
(3)原问题的右端项对应于对偶问题的目标函数系数 (4)原问题的约束矩阵转置就是对偶问题系数矩阵
(5)原问题求最大，对偶问题是求最小 (6)原问题不等式约束符号为“≤”,对偶问题不等式约束符号为“≥”
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of பைடு நூலகம்P
max Z CX