期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知α是锐角，，，且，则α为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 30°或60°2.化简的结果为（）A. -1B. 1C. cotαD. -cotα3.若点P（-1，2）是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为（）A. B. C. arctan（-2） D. 以上都不对4.已知函数f（x）=-sin4x，则（）A. f（x）在上单调递增B. f（x）在上单调递减C. f（x）在上单调递增D. f（x）在上单调递减5.如果函数y=sin2x+a cos2x的图象关于直线x=-对称，那么a等于（）A. B. 1 C. D. -16.已知平面上三点A，B，C，满足，，，则=（）A. 28B. -28C. 100D. -1007.为了得到函数的图象，可以将函数y=2cos2x的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8.已知角α，β∈（0，），且=tanβ，则（）A. B. C. 2 D.9.如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为（）A. B. C. D.10.若，则S不能是（）A. B. C. D.11.O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，则f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2018π）的值为（）A. B. 0 C. 2018 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）=______．14.已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是______．15.已知，，与的夹角为120°，，则与的夹角为______．16.已知函数f（x）=|sin x|+cos x，现有如下几个命题：①函数f（x）为偶函数；②函数f（x）最小正周期为2π；③函数f（x）值域为；④若定义区间（a，b）的长度为b-a，则函数f（x）单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量．（1）若与垂直，求k的值；（2）若与平行，求k的值．18.已知向量，，设．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）已知α为锐角，β∈（0，π），，，求sin（2α+β）的值．19.设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=x，（1）当x=时，求的值；（2）设函数f（x）=+sin2x，求f（x）的值域．20.如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f（x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，且CD∥x轴，．（1）求ω，φ的值；（2）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．21.如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=2．（1）若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；（2）若AC=AB，cos，=，求||．22.已知函数．（1）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（2）若方程在（0，π）上的解为x1、x2，求cos（x1-x2）的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由，，且，得，∴，∵0＜α＜90°，∴-60°＜α-60°＜30°，则α-60°=0，即α=60°．故选：C．由已知向量共线可得，利用辅助角公式化积，再由α的范围求解．本题考查向量共线的坐标运算，考查三角函数值的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：==-cotα．故选：D．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵arcsin x与arctan x的范围都是（-，），arccos x的范围是（0，π），∴只能用arccos x表示，由cosα==-，则钝角α=arccos（-），故选：B．根据三角函数的定义结合反三角函数的表示进行求解即可．本题主要考查三角函数角的计算，结合三角函数的定义以及反三角函数的定义进行求解是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由题意可知，周期T=，结合正弦函数的性质及函数的图象变换可知，y=-sin4x在上单先减后增；故A，B 错误；在上单调递增，故C正确，D错误故选：C．由题意可知，周期T=，结合正弦函数的性质及函数的图象变换可进行判断；本题主要考查了余弦函数的图象变换及性质的简单应用，属于基础试题．5.【答案】D【解析】解：由题意知y=sin2x+a cos2x=sin（2x+φ）当时函数y=sin2x+a cos2x取到最值±将代入可得：sin[2×（）]+a cos[2×（）]=解得a=-1故选：D．将函数y=sin2x+a cos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．本题的考点是正弦型三角函数，主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查学生分析解决问题的能力．属基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，△ABC中，，，，有||2+||2=||2，则△ABC为直角三角形，且∠A=90°，cos C=，cos B=，=||×||cos（180°-B）+||×||cos C+0=-64+36=-28；故选：B．根据题意，由勾股定理分析可得△ABC为直角三角形，且∠A=90°，cos C=，cos B=，又由数量积的计算公式可得=||×||cos（180°-B）+||×||cos C，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及解三角形，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：为了得到函数=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2cos2x=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到，故选：A．利用两角和的正公弦式化简函数的解析式，再利用诱导公式、函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、两角和的正公弦式的应用，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：==tanβ，由于：角α，β∈（0，），故：，β∈（0，），得到：，故：2．故选：C．直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的求值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可．【解答】解：∵=+，，∴=+，∵=-，，∴=-，∴=+=+（-）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选A．10.【答案】B【解析】解：对于A，===，故A正确；对于B，S=≠=，故B错误；对于C，=，故C正确，对于D，===S，故正确．故选：B．利用三角函数恒等变换的应用逐项化简即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的运算，向量共线定理，属于中档题．以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．可得点O是线段AE的中点，点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点，利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=-2==2，∴点O是线段AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选B.12.【答案】A【解析】解：由图象可知，A=2，f（0）=1，f（）=-2，∴sinφ=，∵0＜φ＜π，∴φ=或，当φ=时，f（x）=2sin（ωx+），令x+=可得x=与已知图象中函数取得最大值的位置不符，故舍去；当φ=，f（x）=2sin（ωx+），∴ω+=-，k∈z，∴ω=，k∈z，由图象可知，，∴T=，解可得0＜ω，∴ω=，f（x）=2sin（x+），T=4π，∴f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2018π）=504[f（π）+f（2π）+f（3π）+f（4π）]+f（π）+f（2π），=504×0+f（π）+f（2π）=．故选：A．由图象可求A，结合f（0）=1，f（）=-2，可求φ，由图象可知，，可求满足条件的ω，然后结合函数解析式及函数的周期可求．本题主要考考查了利用函数图象求解函数解析式，阶解题的关键是性质的灵活运用．13.【答案】【解析】解：∵α为锐角，∴．又，∴，∴，故答案为：同角三角函数的基本关系取得，再利用二倍角公式求得=的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．14.【答案】k＞-16且k≠1【解析】解：∵夹角是钝角，∴＜0，且8k≠（-2）×（-4）∴-32-2k＜0，且k≠1∴k＞-16且k≠1，故答案为：k＞-16且k≠1．利用夹角为钝角数量积为0，且不共线，容易得解．此题考查了向量数量积，向量共线等，难度不大．15.【答案】150°【解析】解：∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴=，∴的夹角为150°．故答案为：150°．利用求得，再利用平方后可求得夹角．此题考查了向量的数量积，模和夹角，难度不大．16.【答案】①②④【解析】解：根据题意，函数f（x）=|sin x|+cos x=，其图象如图：依次分析选项：对于①，f（x）=|sin（-x）|+cos（-x）=|sin x|+cos x=f（x），即函数f（x）为偶函数，正确；对于②，f（x）=|sin x|+cos x，其最小正周期为2π，正确；对于③，函数f（x）值域为[-1，]，错误；对于④，函数f（x）单调递增区间长度的最大值为，正确；则其中正确的为①②④；故答案为：①②④．根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，作出函数的草图，据此分析4个命题，综合即可得答案．本题考查分段函数农户的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性、值域以及单调性的判定，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵向量．∴=（k，0）-（-2，1）=（k+2，-1），=（1，0）+（-6，3）=（-5，3），∵与垂直，∴（）•（）=-5（k+2）-3=0，解得．（2）∵与平行，∴，解得．【解析】（1）利用平面向理坐标运算法则先分别求出和，再利用与垂直，能求出k的值．（2）利用与平行，结合向量平行的性质，能求出k的值．本题考查平面向量运算法则、向量平行与向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：（1）==+1=，其最小正周期为2π，对称中心为，k∈Z；（2）=，∴，又α为锐角，∴，∵β∈（0，π），∴，∵，∴，∴，∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）==．【解析】（1）利用数量积把f（x）化为三角函数，可直接得到周期和中心；（2）把2α+β看成α+（α+β）是解题的关键，结合角的范围分别求出α和α+β的正余弦值，代入公式即可得解．此题考查了向量数量积，三角函数的性质，三角函数的求值变换等，难度适中．19.【答案】解：（1）∵由已知可得：=（，），=（cos x，sin x），，∴当x=时，=（，），∴=×+×=．（2）f（x）=+sin2x=（cos x+sin x）+2sin x cosx，令sin x+cos x=t∈[-，]，则2sin x cosx=t2-1，则y=t+t2-1=（t+）2-∈[-，2]．【解析】（1）由已知可求=（，），=（cos x，sin x），，当x=时，可求=（，），根据平面向量数量积的坐标运算即可计算得解．（2）由已知可求f（x）=（cos x+sin x）+2sin x cosx，令sin x+cos x=t∈[-，]，则2sin x cosx=t2-1，利用配方法可求y=t+t2-1=（t+）2-，根据二次函数的性质可求其值域．本题值域考查了平面向量数量积的坐标运算，二次函数的图象和性质，考查了配方法和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）根据题意，AB=BD，∴B点的横坐标为=；又点C与点D关于直线x==对称，∴f（x）的最小正周期T满足==，解得T=π，即ω=2；又f（0）=sinφ，∵=sin（φ）=-sin（φ+）=-sinφ，且0＜φ＜π，∴φ=；（2）由（1）知，函数f（x）=sin（2x+），∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，∴k=sin（2x+）-sin2x=-sin2x+=cos（2x+）设g（x）=cos（2x+），x∈，则，根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，∴实数k应满足或k=-1【解析】（1）结合AB=BD及中点坐标可求B，根据对称性求出C，然后可求f（x）的最小正周期T，进而可求ω，再由f（0）=-代入可求φ；（2）由（1）可知f（x），由f（x）=k+sin2x可求解k的表达式，结合两角和的三角公式及余弦函数的性质可转化为y=k与y=cos（2x+），在x∈上有1个交点，结合图象可求．本题主要考查了正弦与余弦函数的图象与性质的综合应用，方程的根与函数图象的交点的相互转化思想的应用．21.【答案】解：（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB=120°．又AD=2AB，所以AD=2BC，因为E是CD的中点，所以：=，=．又，所以，=．=，=11．（2）因为AB=AC，AB=2，所以：AC=2．因为：，所以：．所以：．又=4．所以：．所以：=．故：．【解析】（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，22.【答案】解：（1）∵=2cos x（）=sin x cosx-cos2x，==sin（2x-）-，令2x-=，得x=，即y=f（x）的对称轴方程为x=，k∈z．（2）由条件知=＞0，则，则x1+x2=，cos（x1-x2）=cos[]=cos（）=cos[（）-]，=sin（）=，【解析】（1）先利用差角公式及二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简f（x）=sin（2x-）-，结合正弦函数的性质可求对称轴方程；（2）由条件知=＞0，结合正弦函数的性质可得则x1+x2，然后代入cos（x1-x2）=cos[]，结合诱导公式可求．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在三角公式化简中的应用，正弦函数的图象及性质的应用是求解问题的关键．。