{正文}2018-2019学年度辽宁省沈阳市东北育才高三年级第五次模拟考试数学（理科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，41z i=-，则复数z 的虚部为 A ．2i -B ．2iC ．2D ．2-2．已知全集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--==020192018,x x xA R U ，则U C A = A ．{|20182019}x x ≤≤B ．{|20182019}x x <<C ．{|20182019}x x <≤D ．{|20182019}x x ≤<3．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c =λ+a b ，则实数=λA ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足8584S a =-，则该数列的公差是A ．1B ．2C ．3D ．45．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45C 的一个焦点到一条渐近线的距离为A ．2B ．4C 19．2196．已知函数()2()ln xf x ef e x e'=-，则()f x 的极大值点为 A ．1eB ．1C ．eD ．2e7．已知函数()sin()=+f x A x ωϕ，（0,0>>A ω，||2<πϕ）的部分图象如图所示，则⋅=ωϕA ．6π B ．4π C ．3πD ．23π 8．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为A ．2B ．83C ．6D ．8 9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种10．在下图算法框图中，若dx x a ⎰-=30)12(，程序运行的结果S 为二项式5)2(x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是A ．3k <B ．3>kC ．2<kD ．2>k11．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知函数()()133()log 2log 4=--+f x x x ，如下命题①函数()f x 的定义域是[]4,2-；②函数(1)f x -是偶函数；③函数()f x 在区间[)1,2-上是减函数；④函数()f x 的值域为(,2]-∞-． 其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数,x y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则yz x =的最小值是________．14．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”， B 表示事件“ 豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则(|)=P B A ．15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010S S S +＝ ． 16．抛物线22y px =的焦点为F ，设1222(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点，若1223||3x x p AB ++=，则AFB ∠的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且03sin 2sin 322=-+A A． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆面积为3，且外接圆半径3=R ，求ABC ∆的周长． 18．（本题满分12分）2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． （i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学期望．附：4.13180≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=19．（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为22，直线l ：2y x =与椭圆交于,M N ，四边形12MF NF 的面积为423． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）作与l 平行的直线与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为P ，若12,PF PF的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，22AB DP ==E 是CD 中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）证明：AD PC ⊥；（Ⅱ）若[0,1]λ∈，求实数λ使直线EF 与平面PDC 所成角和直线EF 与平面ABCD 所成角相等．21．（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x ax a a R =-+∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21()()(1)2g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin =+ρθθ，直线l 的参数方程为1222⎧=⎪⎨=⎪⎩x ty t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点(1,2)Q ，直线l 与曲线C 交于、A B 两点，求|QA|·|QB|的值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|1||2|f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()13f x <的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥．{答案}2018-2019学年度辽宁省沈阳市东北育才高三年级第五次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．A 11．B 12．D 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．13 14．14 15．11816．2π3 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（Ⅰ）解：03sin2sin 322=-+A A∴03sin 2cos 132=-+-⨯A A，即0cos 3sin =-A A …………2分 3tan =∴A …………4分又π<<A 03π=∴A …………6分（Ⅱ）2sin a R A =…………7分33sin 32sin 2===∴πA R a…………8分 ABC ∆面积为33sin21=∴A bc 得4=bc …………9分∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， ∴b 2+c 2﹣bc=9， …………10分 ∴（b+c ）2=9+3cb=9+12=21，∴b+c=21 ………11分 ∴周长a+b+c=3+21． …………12分18．（Ⅰ）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为 300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…2分222222(30)0.05(20)0.1(10)0.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯=…4分（Ⅱ）（i ）由（1）知，)18060(~，N X ，从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=；…7分（ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[4555]，内有3人，在[6575]，内有4人，故Y 可能的取值为0，1，2，3354)0(373403===C C C Y P ，3518)1(372413===C C C Y P ， 3512)2(371423===C C C Y P 351)3(37433===C C C Y P 所以Y 的分布列为…11分所以Y 的数学期望为4181219()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= …12分 19．（Ⅰ）解：由222221y xx ya b=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222244a b y a b =+c e a ==，222212a b e a -==,ac b ∴== ………2分 23c =33=1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y += ………5分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为2(0)y x m m =+≠由22212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2298220x mx m ++-= 226436(22)0m m ∆=-->，得29m <，()()3,00,3m ∴∈- ………7分设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则21212822,99m x x m x x -+=-=0004,299mx m y x m =-=+=200001222000281118116y y x y m k k x x x m +=+==+---288116m=-（0m ≠） ………10分 ()128,0,7k k ⎛⎫∴+∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭………12分20．（Ⅰ）解：PAD △中222PA AD PD +=，∴90PAD ∠=︒∴AD PA ⊥； ………1分 连AC ，ABC △中2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= ………2分 ∴222AC BC AB +=∴AC BC ⊥，∴AD AC ⊥ ………4分 又PA AC A =∴AD ⊥平面PAC ∴AD PC ⊥ ………5分（Ⅱ）由（1）：PA AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD 于AD ，∴PD ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系； ………6分∴(000)A ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，(200)D -，，，(110)E -，，，(002)P ，，∴(022)PC =-，，，(202)PD =--，，，(222)PB =-，，， ………7分设PFPBλ=，（[01]λ∈，），则(222)PF λλλ=-，， (2222)F λλλ-+，，，(212122)，，=+--+EF λλλ ………8分设平面PCD 的一个法向量()m x y z =，，，则00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得(111)m =--，，又平面ABCD 的一个法向量(001)n =，， ………10分由题：cos cos EF m EF n =，，，即223EFEFλ-=解得：λ ………12分 21．（Ⅰ）解：由已知()f x 的定乂域为(0,)+∞，又1'()=-f x a x，当0≤a 时，'()0>f x 恒成立； 当0a >时，令'()0>f x 得10<<x a ；令'()0<f x 得1>x a． 综上所述，当0≤a 时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上为增函数，在1(,)+∞a上为减函数． ………4分 （Ⅱ）由题意21g()(1)ln ,(0)2=-+-+>x x x ax a x ，则1g'()1=+--x x a x， 当1a ≤时，∵g'()0≥x ，∴g()x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意． ………6分当1a >时，2(1)1g'()x a x x x-++=，令2()(1)1x x a x ϕ=-++，则2(1)4(3)(1)0a a a ∆=+-=+->． 令()0x ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <， 则∵121x x =，∴1201<<<x x当1(0,)x x ∈时，()0x ϕ>，'()0g x ∴>，∴g()x 在1(0,)x 上为增函数， 当12()x x x ∈，时，()0x ϕ<，'()0g x ∴<，∴g()x 在12(,)x x 上为减函数， 当2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，'()0g x ∴>，∴g()x 在2(,)x +∞上为增函数，∵(1)0g =，∴g()x 在12(,)x x 上只有一个零点 1，且12g()0,g()0x x >< ………8分1111()()()()222221()(1)ln 2a a a a g ee e ae a -+-+-+-+∴=-+-+111()())22222111(11)ln (1)()222a a a e ea e a a -+-+-+<-++=--++（ 11()()221(2)02a a e e -+-+=-<， 1()201a e-+<<，又当1[,1)x x ∈时，()0g x >，1()210a ex -+∴<<∴g()x 在1(0,)x 上必有一个零点． ………10分又21(22)(21)ln(22)(22)2g a a a a a a +=+++-++211(21)(22)022a a a >+-+=> 221a +>，又当2(1,)x x ∈时，()0g x <，222a x ∴+>∴g()x 在2(,)x +∞上必有一个零点．综上所述，故a 的取值范围为(1,)+∞ ………12分22．（Ⅰ）由ρ＝6cos θ＋2sin θ，得ρ2＝6ρcos θ＋2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝6x ＋2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0．由⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋2t，消去参数t ， 得直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0． ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 的参数方程可化为⎩⎨⎧x ＝1－22t′y ＝2＋22t′（t ′为参数）， ………7分 代入曲线C 的直角坐标方程x 2＋y 2－6x －2y ＝0得t′2＋32t′－5＝0． ………9分 由韦达定理，得t′1t ′2＝－5，则|QA|·|QB|＝|t′1t ′2|＝5． ………10分23．（Ⅰ）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<，则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-． ………5分（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=，所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n+=+=>，所以0,0m n >>， 199()()(10)1016n m m n m n m n m n +=++=++≥+= 当且仅当9n m m n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥． ………10分。