大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
20分）. )cos 1(cos 1lim 0x x x x --+
→= . (2)设()f x 在2x =连续，且2
()3
lim
2
x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x
t t f 2)1
1(lim )(+=∞→，则=')(t f .
(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .
（1）
2
1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2
ln ln 2. ，其中
解：
dxdy x
y D
⎰⎰-2
=
dxdy y x
x y D )(2
1:2
-⎰⎰<+
⎰⎰≥-2
2:2
)(x y D dxdy x
y -------- 2分
=dy y x dx x )(2
21
-⎰⎰+dy x y dx x
)(1
210
2⎰⎰- -------------4分
=
30
11
-------------5分. 姓名：
身份号：
所在院
校：
级：
业：
线
封
密
注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸
上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关
三、（10分）设)](sin[2
x f y =，其中f 具有二阶2dx
解：
)],(cos[)
(222x f x f x dx
dy
'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22
222222222
2x f x f x x f x f x x f x f dx
y d '-''+'=-----7分
=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(22
2
2
2
2
2
2
2
x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.
四、（15分）已知
3
1
23ln 0
=
-⋅⎰
dx e e a x x ，求a 的值
解：
)23(232123ln 0
ln 0
x
a x a
x x e d e dx e e ---
=-⋅⎰⎰
---------3分 令t e x =-23，所以
dt t dx e e a
a
x x ⎰⎰
--
=-⋅231ln 0
2
123---------6分 =a t 231
2
33
2
21-⋅-------------7分
=]1)23([31
3--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31
，-----------12分
即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分
所以2
3
=a -------------15分.
五、（10分）求微分方程0=-+'x
e y y x
e y
x ==1
的特解.
解：原方程可化为
x
e y x y x
=+'1-----------2分
这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-
C dx e x e e y dx
x x
dx x 11----------4分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e
x x x
ln ln ----------5分 =
[]
⎰+C dx e x x 1
-----------6分 =)(1C e x
x
+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1
C e x
y x +=.----------8分
再由条件e y
x ==1
，有C e e +=，即0=C ，-----------9分
因此，所求的特解是x
e y x
=.----------10分.
()f x 在(,)a b 内具有二阶导 3()f x ，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)
x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

证：由于)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，所以)(x f 在],[21x x 上连续， 在),(21x x 内可导，再根据题意)()(21x f x f =，
由罗尔定理知至少存在一点∈1ξ),(21x x ，使)(1ξf '=0；--------3分
身份证
号：
所在院校：
年
级：
专业：
线
封 密
同理，在23[,]x x 上对函数)(x f 使用罗尔定理得至少存在一点
),(322x x ∈ξ，使)(2ξf '=0；---------6分
对于函数)(x f '，由已知条件知)(x f '在[1ξ，2ξ]上连续，在（1ξ，2ξ）内可导，且)(1ξf '=)(2ξf '=0，由罗尔定理知至少存在一点∈ξ（1ξ，2ξ），使0)(=''ξf ，而1ξ，2ξ）),(31x x ⊂，故结论得证----------10分.
七、（15
分）已知曲线，x e y =x y sin =和直线0=x ，
1=x 围成平面图形D .
（1）求平面图形D 的面积A ；
（2）求D 绕x 轴旋转所成立体的体积.
解：（1）1
(sin )x A e x dx =-⎰-----------2分
10(cos )x e x =+-----------4分
cos12e =+------------5分
（2）因为⎰=b
a
x dx x f V )(2π，-----------6分
所以dx x e V x x )sin (1
22⎰-=π-----------9分
=1
20
111sin 2224x e x x π⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦------------11分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--2sin 4121)1(212e π-----------13分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+1)2sin 21(212e π .--------------15分.
八、（15分）设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数 )(x y y =及)(x z z =分别由
身份证
号：
所在院
校：
年级：
专
业：
线
封
密
下列两式确定： 2=-xy e xy 和dt t t e z x x ⎰-=0sin ，求du
dx
.
解：
dx
dz
z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=， （1）---------4分 由2=-xy e xy 两边对x 求导，得
)()(dx dy
x y dx dy x
y e xy +-+=0，--------------7分 即 x
y dx dy -= ---------------9分
又由dt t t e z x x
⎰-=0sin 两边对x 求导，得
)1()sin(dx dz z x z x e x -⋅--=，-----------11分
即 )
sin()(1z x z x e dx dz x ---= -----------13分 将其代入（1）式，得 ()1sin()x du f y f e x z f dx x x y x z z ⎡⎤∂∂-∂=-+-⎢⎥∂∂-∂⎣⎦.-----------15
分.。