《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答第一章 引言——波与矢量分析1．1.,,/)102102cos(1026300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 --⨯+⨯==ππ解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0x --⨯π+⨯π==++=∴ 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向；波的幅度m /V 10E E 3y -==。

s /m 10102102k V ;102k ;MHZ 1HZ 1021022f 826P 266=⨯π⨯π=ω=⨯π===π⨯π=πω=--1．2写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话）)6sin()3sin()()6(cos 1)()5()2120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2()4cos(6)()1(πωπωωππωωωπω++=-=-=-=-=+=t t t U t t D t t C t t t A tt I t t V（1）解：4/)z (v π=ϕj 23234sin j 64cos6e6V 4j+=π+π==π∴ （2）解：)2t cos(8)t (I π-ω-=2)z (v π-=ϕj 8e 8I j 2=-=π-∴（3）解：）t cos 132t sin 133(13)t (A ω-ω= j32e13A 2)z ()2t cos(13)t (A 133cos )2(j v --==π-θ=ϕ∴π-θ+ω==θπ-θ则则令 （4）解：)2t 120cos(6)t (C π-π=j 6e6C 2j -==∴π(5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示1．3由以下复数写出相应的时谐变量])8.0exp(4)2exp(3)3()8.0exp(4)2(1)1(j j C j C jC +==+=π（1）解：t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j ω-ω+ω+ω=ω+ω+=+ωt sin t cos )Ce (RE )t (C t j ω-ω==∴ω（2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE )t (C t j 8.0j t j +ω===ωω（3）解：)8.0t (j )2t (j tj 8.0j j tj e 4e3e)e4e3(Ce2+ωπ+ωωω+=+=π得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2t cos(3)Ce (RE )t (C tj ω-+ω=+ω+π+ω==ω1．4]Re[,)21(,)21(000000**⨯⋅⨯⋅++--=+++=B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定解：1B A B A B A B A z z y y x x -=++=⋅0000000000z y x z y x 000z y x 6)B A (RE j)j 21(1j 21j 1z y x B A j 21B A z )j 21(x B z )j 1(y )j 31(x )4j 4(B B B A A A z y x B A--=⨯----+=⨯--=⋅---=--+--++-==⨯****得到：则：1．5计算下列标量场的梯度xyzu xy y x u xz yz xy u z y x u z y x u =++=++=-+==)5(2)4()3(2)2()1(22222222（1）解：u u grad ∇=)(22022022022202220222222z z y x y yz x x z xy z z z y x y y z y x x x z y x++=∂∂+∂∂+∂∂=（2）解：u u grad ∇=)(000224z z y y x x -+=(3) 解：u u grad ∇=)(000)()()(z x y y z x x z y+++++=(4)解：u u grad ∇=)(00)22()22(y x y x y x+++=（5）解：u u grad ∇=)(000z xy y xz x yz ++=1．6）处的法线方向，，在点（求曲面21122y x z +=解：梯度的方向就是电位变化最陡的方向令z y x T-+=22则代入锝：将点)2,1,1(22000z y y x x T-+=∇法线方向与00022z y x-+同向1．7求下列矢量场的散度，旋度200022000002020265)4()()()3()()()()2()1(z x y yz x A y y x x y x A z y x y z x x z y A z z y y x x A ++=+++=+++++=++=（1）解：zA y A x A A A div zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=)(z y x 222++=0)(222000=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=z y x z y x z y x A A curl（2）解：div(A)=0curl(A)=0(3)解：div(A)=1+2y022000)12(0)(z x y x yx z y x z y x A A curl -=++∂∂∂∂∂∂=⨯∇= (4)解：div(A)=6z002002665)(y x x y x yzz y x z y x A A curl --=∂∂∂∂∂∂=⨯∇= 1.11⎰===+⋅=Sh z z r y x S S d A x x A 组成的闭合曲面是由其中，求若矢量场,0,,2220解：由散度定理可得：hr dV dVx x h z r y x V dV A dS A VV s V20222)]([),()(π==⋅∇===+⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰围成的体积为1．12)()()(,,000000B A A B B A z B y B x B B z A y A x A A z y x z y x⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇++=++=试证明：假定证明：)(B A ⨯⋅∇zB A B A y B A B A xB A B A B A B A z B A B A y B A B A x B B B A A A z y x x y y x z x x z y z z y x y y x z x x z y z z y zy x z yx ∂-∂+∂-∂+∂-∂=-+-+-⋅∇=⋅∇=)()()()]()()([00000)()()()()()()()(B A A B y B x B A x B z B A z B y B A yA x AB x A z A B z A y A B zB A B A A B A B yB A B A A B A B xB A B A A B A B x y z z x y yz x x y z z x y yz x xy y x y x x y zx y z x z z x y z z y z y y z⨯∇-⨯∇=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∂∂-∂+∂-∂+∂∂-∂+∂-∂+∂∂-∂+∂-∂=1．13AA A A A A⨯∇Φ+⨯Φ∇=Φ⨯∇⋅∇Φ+Φ∇⋅=Φ⋅∇)()2()()1(证明：（1）证明：证毕右边左边右边左边=∴∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂=∂Φ∂+∂Φ+∂Φ∂+∂Φ+∂Φ∂+∂Φ=∂∂+∂∂+∂∂Φ+∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂⋅++=∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂=Φ+Φ+Φ⋅∇=z A y A x A z A A y A A x A A zA y A x A z z y y x x z A y A x A zA y A x A z A y A x A z y x z z y y x x z y x z y x zy x z y x )()()()(000000000（2）证明：证毕左边右边左边=∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ+∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂=⨯∇Φ+⨯Φ∇=ΦΦΦ∂∂∂∂∂∂=Φ⨯∇=zyx z y x zy xA A A z y x z y x A A A z y x z y x A A A A A z y x z y x A 000000000)(1．14 证明：)()2(0)()1(=Φ∇⨯∇=⨯∇⋅∇A（1）证明：证毕)]()()([)(222222000000=∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⋅∇=∂∂∂∂∂∂⋅∇=⨯∇⋅∇y z A z x A y x A y z A z x A y x A yA x A z x A z A y z A y A x A A A z y x z y x A x y z x y z xy z x y z zy x（2）证明：证毕0)()(000000=∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂∂∂∂∂∂=∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂⨯∇=Φ∇⨯∇zy x z y x z y x z zy y x x第二章 传输线基本理论与圆图2．1710'0.042/'510/'510/'30.5/R m L H m G S mC pF mk Z Ω-==⨯=⨯=市话用的平行双导线，测得其分布电路参数为：求传播常数与特征阻抗。

解：))((C j G L j R jk '+''+'=ωω)()(C j G L j R Z c '+''+'=ωω将数据代入解得（以50Hz 代入，不是很正确）：Ω⨯-=⨯-=--3810)44.15.1(10)6.198.16(j Z j k c2．2min1max min max min 80,50,5/,/4,/2,3/8,,I ,I L C L Z Z Z V d l V V ρλλλλ===参看图，负载电压，求驻波系数，驻波最小点位置传输线长度处的输入阻抗以及。

解：（1）由题意可锝：80503(0)805013311(0)13 1.631(0)113L C v L C v v Z Z Z Z ΓΓρΓ--===++++===--Z L（2）3(0)(0)013v Γψ==即 4141maxmin=+=∴λλd d （3）224πλπλ===l kl l 时Ω=++=++=25.312tan80502tan 508050tan tan ππj j kljZ Z kljZ Z Z Z L C C L Cin Ω-=++====Ω=++====j kljZ Z kljZ Z Z Z l kl l kljZ Z kljZ Z Z Z l kl l L C C L C in L C C L C in 50tan tan 4328380tan tan 22πλπλπλπλ时时(4)iv i V V V 513161331)0(1)0(==+=Γ+=可得：1665=i V max min max maxminmin 653[1(0)](1)51613653[1(0)](1) 3.12516130.10.0625i v i v C CV V V V V VV I A Z V I A Z ΓΓ=+=+==-=-=====2．3处输入阻抗求传输线长度，，负载阻抗无线传输线特征阻抗8/3,4/,8/99.25550λλλ===l Z Z L C解：43,2,483,4,8πππλλλ==kl l处当Ω-=++=++=Ω=++=++=Ω+=++=++=)44.4526.8(43tan99.2555043tan5099.25550tan tan 502tan99.255502tan 5099.25550tan tan )26.531.9(4tan 99.255504tan 5099.25550tan tan j j j kljZ Z kl jZ Z Z Z j j kljZ Z kljZ Z Z Z j j j kl jZ Z kljZ Z Z Z L C C L C in L C C L Cin L C C L Cin ππππππ2．4功率之比）负载反射功率与入射（点位置）离开驻波第一个最小（）驻波系数（求：传输线终端归一化阻抗321,0.18.0min d j z L ρ+=解：(0)10.2 1.0(0)(0)1 1.8 1.0j L C L v L C L Z Z z j e Z Z z j ψνΓΓ---+====+++（1）96.2)0(1)0(1=Γ-Γ+=v v ρ（2）min(0)0.3544d ψλλλπ=+= （3）41)0(2=Γ=v i r P P2．6λ/3350l j 长度求传输线以波长计的电，输入阻抗为，终端开路，测得始端传输线特征阻抗为ΩΩ解：终端开路时：cot 3350tan 3350arctan 3350arctan()1330.34322in C Z jZ kl j kl kl l πλπ=-=∴=-=-=-=得：2．8求负载阻抗，，驻波系数为为为在无耗线上测得：36.0,1.0,25,100min =⋯⋯-ρλλd j Z j Z ocin sc in解：5.0131311=+-=+-=Γρρvmin 0.60.6(0)0.1(0)0.644501(0)10.5501(0)10.5C j v L C jv d Z e Z Z e ππψλλλψππΩΓΓ--==+⇒=-===++==--即2．9(3060),50,L C L Z j Z Z d ΩΩ=+=如图，用可移动单可变电纳匹配器进行匹配，用圆图决定可变电纳匹配器到负载的距离，以及并联短路支线长度。