数学分析(二):多元微积分
梅加强副教授
南京大学数学系
内容提要:
内容提要:
诱导定向;
内容提要:
诱导定向; Green公式;
内容提要:
诱导定向;
Green公式;
简单闭曲线所围区域的面积;
内容提要:
诱导定向;
Green公式;
简单闭曲线所围区域的面积; 代数基本定理.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.
如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.
如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.
利用诱导定向,沿边界的第二型曲线积分有时可以化为区域中的重积分.
(Green公式)
设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则
Ω ∂Q
∂x
−
∂P
∂y
d x d y=
∂Ω
P d x+Q d y.
(Green公式)
设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则
Ω ∂Q
∂x
−
∂P
∂y
d x d y=
∂Ω
P d x+Q d y.
Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.
(Green公式)
设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则
Ω ∂Q
∂x
−
∂P
∂y
d x d y=
∂Ω
P d x+Q d y.
Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.
Green公式的传统证明方法是将被积区域分割为两种特殊类型的小区域,在每一小区域上验证公式成立,最后合起来就得到整个区域上的公式.
若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式
σ(Ω)=1
2
∂Ω
−y d x+x d y=
1
2
β
α
[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,
其中,参数t选取的方向沿逆时针.
若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式
σ(Ω)=1
2
∂Ω
−y d x+x d y=
1
2
β
α
[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,
其中,参数t选取的方向沿逆时针.
例如,考虑椭圆x2
a2+y2
b2
=1所围成的面积.椭圆的参数方程为x(t)=a cos t,y(t)=b sin t,t∈[0,2π],
于是其面积为
σ=1
2
2π
(a cos t b cos t+a sin t b sin t)d t=πab.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.
考虑
f d g−
g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=
fg x−gf x
f2+g2
,Q=
fg y−gf y
f2+g2
.
容易验证Q x−P y=0.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.
考虑
f d g−
g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=
fg x−gf x
f2+g2
,Q=
fg y−gf y
f2+g2
.
容易验证Q x−P y=0.
在单位圆盘上应用Green公式,有
S1f d g−g d f
f2+g2
=
D
(Q x−P y)d x d y=0,(1)
另一方面,在S1上,记z=e iθ,则
f(z)=cos nθ+1
R
a1cos(n−1)θ−b1sin(n−1)θ+···
,
g(z)=sin nθ+1
R
a1sin(n−1)θ+b1cos(n−1)θ+···
,
其中a1,b1分别为c1的实部和虚部.
另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则
f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,
g (z )=sin n θ+1R
a 1sin(n −1)θ+
b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为
c 1的实部和虚部.
由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S
1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾!
另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则
f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,
g (z )=sin n θ+1R
a 1sin(n −1)θ+
b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为
c 1的实部和虚部.
由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S
1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾! 代数基本定理是由Gauss 首先证明的.有趣的是,至今还没有纯代数的证明.。