第一章 变量与函数 §1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。

习惯上称x 自变量，y 为因变量。

函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X .{}()|(),f X y y f x x X ==∈。

２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。

例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。

（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。

即“函数()y f x =”或“函数f ”。

（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。

a 称为()f a 的原象。

3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。

2 可用“特殊方法”来表示的函数。

分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。

例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）用语言叙述的函数。

例：１）[]y x =（x 的最大整数部分）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。

（２）若12()()f x f x ≥，则称f 为X 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为X 上的严格减函数。

例：证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数。

例：讨论函数[]y x =在Ｒ上的单调性。

注：单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称。

2、奇函数和偶函数 定义3 设X 为对称于原点的数集，f 为定义在X 上的函数。

若对每一个x X ∈，有（１）()()f x f x -=-，则称f 为Ｄ上的奇函数；（２）()()f x f x -=，则称f 为X 上的偶函数。

注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（２）奇偶性的前提是定义域对称；（３）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩奇函数偶函数非奇非偶函数既奇又偶函数。

3、周期函数 定义 4. 设f 为定义在数集X 上的函数，若存在0T >，使得对一切x ∈X 有()()f x T f x +=，则称f 为周期函数，T 称为f 的一个周期。

注：（1）若T 是f 的周期，则()nT n N +∈也是f 的周期，所以周期不唯一。

（2）任给一个函数即使存在周期也不一定有最小正周期，如： y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期。

§2 复合函数和反函数一 复合函数 １．引言 先考察一个例子。

例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把v 代入f ，即得221()2f v mg t =. 这样得到的函数称为“复合函数”。

2． 定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y u u U u f x x X ϕ=∈=∈，若()f X U ⊂内，则对每一个x X ∈，通过f 对应U 内唯一一个值u ，而u 又通过ϕ对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在X 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f x x X ϕ=∈。

这种函数成为复合函数。

注：两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。

3. 例子 讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R =∈能否进行复合。

4 说明 不仅要会复合，更要会分解例：3sin ,1y u u v x ===-→[1,1]y x =∈-.2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===二、反函数 １、 反函数概念|：设函数(),y f x x X =∈。

满足：对于值域()f X 中的每一个值y ，X 中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f X 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 1(),()x fy y f X -=∈.2 注：a) 并不是任何函数都有反函数；b) 函数f 与1f-互为反函数，并有:1(()),,ff x x x X -≡∈ 1(()),().f f x y y f X -≡∈则函数f 的反函数1f -通常记为 1(),()y f x x f X -=∈.定理．设(),y f x x X =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f-在其定义域()f X 上也是严格增（减）函数。

§3 基本初等函数一 初等函数 1.．基本初等函数（7类）：常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)xy a a a =>≠； 对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数 sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====；反三角函数 arcsin ,arccos ,tan ,cot y x y x y ar x y arc x ====。

双曲函数 2x x e e shx --=，2x x e e chx -+=，xx x x e e e e thx --+-=，x x xx e e e e cthx ---+=２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：3412sin cos ,l g ,||.a e y x x y o x y x x-=+=+=不是初等函数的函数，称为非初等函数。

如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数。

例：求函数ln |sin |y x =表为基本初等函数的复合。

第二章 极限与连续§2-１ 数列的极限与无穷大量一、 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→ 为数列。

注：记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a 。

例：（1）1111:1,,,,234n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n2、数列极限 （１）．引言 容易看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。

一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。

不具有这种特性的数列就称为发散数列。

据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限。

数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列。

需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说明如何用数学语言把它精确地定义下来。

还有待进一步分析。

以11n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性：随着n 的无限增大，11na n=-无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n -与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n --无限减少→1|11|n--会任意小，只要n 充分大。

如：要使1|11|0.1n--<，只要10n >即可；要使1|11|0.01n --<，只要100n >即可；……任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫--< ⎪⎝⎭。

即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫--< ⎪⎝⎭。

如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可。

这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫--=<< ⎪⎝⎭。

综上所述，数列11n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项11n -随n 的无限增大，11n-无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫--< ⎪⎝⎭。

此即11n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭或。

（2）.数列极限的定义 定义1 设为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a, a 称为数列{}n a 的极限, 并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞. 若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。

[问题]：如何表述{}n a 没有极限？（３）举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限例： 证明13(1)lim0n n n +→∞-=. 例： 证明1lim 02nn →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭.例：证明 2321lim 097n n n →∞-=+. 例：证明 224lim 43n n n →∞=-.例：证明 1n =，其中0a >.（４） 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明a ）关于ε：① ε的绝对任意性；②ε的暂时固定性；③ε的多值性；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。

b ）关于Ｎ：① 相应性（对应于给定的ε）；②Ｎ多值性。

c ）数列极限的几何理解： “当n N >时有||n a a ε-<” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(,)O a ε内；而在(,)O a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）。

d ）数列极限的等价定义（邻域定义）：定义1' 任给0ε>，若在(,)O a ε之外数列{}n a 中，只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。