（3）ε (1, 2 ,, p )'与 F 相互独立，且 E(ε ) 0，ε 的协方差阵Σε
是对角方阵
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cov(ε)
Σ
222
0
0
2pp
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
即 的各分量之间也是相互独立的。则模型
X 1 a11F1 a12 F2 a1m Fm 1
特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间也都是相互独 立的。矩阵 A 中的元素 aij称为因子载荷，aij的绝对值大(| aij | 1)， 表明 X i与 Fj的相依程度越大，或称公共因子 Fj 对于 X i的载荷量 越大，进行因子分析的目的之一，就是要求出各个因子载荷的 值。
X i ai1F1 ai2 F2 aimFm ei
(6.4)
var( X i ) ai21 ai22 ai2m var(ei ) 1 （6.5）
共同度
剩余方差
模型(6.4)还可以很容易地得到如下X i与X j相关系数的关系式：
rij ai1a j1 ai2a j2 aima jm （6.6）
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
如果：
（1）X (X1, X 2 ,, xp )'是可观测随机向量，且均值向量 E(X) 0，协 方差矩阵cov(X) Σ，且协方差矩阵Σ与相关阵 R相等；
（2）F (F1, F2 ,, Fm )'（m p）是不可观测的变量，其均值向 量 E(F) 0 ，协方差矩阵 cov(F) I ，即向量 F 的各分量是相互独 立的；
Spearman注意到上面相关阵中有一定的规律, Spearman指出每一科目的考试成绩都遵从以下形式：
X i ai F ei
（6.1）
式中，Xi为第 i 门科目标准化后的考试成绩，均值为0，
方差为1。F 为公共因子，对各科考试成绩均有影响，是
i 均的值特为殊因0，子方，差F为与1。eei 相i 为互仅独对立第。也门就科是目说考，试每成一绩门有科影目响
（一）Charles Spearman提出因子分析时用到的例子
在该例中Spearman研究了33名学生在古典语（C）、法语（F）、英语（E）、 数学（M）、判别（D）和音乐（Mu）六门考试成绩之间的相关性并得到如下 相关阵：
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
X
2
a21F1
a22 F2
a2m Fm
2
X p a p1F1 a p2 F2 a pm Fm p
(6.7)
称为因子模型，模型(6.7)式的矩阵形式为：
X AF ε
其中
a11 a12 a1m a2
m
a p1
ap2
a
pm
因子载荷矩阵
(6.8)
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因子分析的基本思想是根据相关性大小把原 始变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高， 而不同组的变量间的相关性则较低。每组变量代 表一个基本结构，并用一个不可观测的综合变量 表示，这个基本结构就称为公共因子。
数学
物理
英语
语文
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逻辑思维
语言能力
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
因子分析的思想始于1904年Charles Spearman对学 生考试成绩的研究。
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§6.1 因子分析的基本理论
§6.1.1 因子分析的基本思想 §6.1.2 因子分析的基本理论及模型
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§6.1.1 因子分析的基本思想
所以当
X
i与X
在某一公共因子上的载荷均较大时，也就表
j
明了X i与X j的相关性较强。
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
（二）一般因子分析模型
下面我们给出更为一般的因子分析模型：设有n个样品，每个样
品观测 p个指标，这 p个指标之间有较强的相关性（要求个指标 相关性较强的理由是很明确的，只有相关性较强才能从原始变 量中提取出“公共”因子）。为了便于研究，并消除由于观测 量纲的差异及数量级不同所造成的影响，将样本观测数据进行 标准化处理，使标准化后的变量均值为0，方差为1。为方便把 原始变量及标准化后的变量向量均用X 表示，用F1, F2,, Fm (m p) 表示标准化的公共因子。
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
由模型（6.7）及其假设前提知，公共因子F1, F2,, Fm 相互独立 且不可测，是在原始变量的表达式中都出现的因子。公共因子 的含义，必须结合实际问题的具体意义确定。1,2 ,, p叫做特
殊因子，是向量 X 的分量 X（i i 1,2,, p ）所特有的因子。各
的考试成绩都可以看作是由一个公共因子（可以认为是一 般智力）与一个特殊因子的和。
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
对Spearman的例子进行推广，假定每一门科目的考试
成绩都受到 m个公共因子的影响及一个特殊因子的影
响，于是（6.1）就变成了如下因子分析模型的一般形
式： X i ai1F1 ai2 F2 aimFm ei
(6.4)
F1, F2 ,, Fm 彼此独立的公共因子，均值为0，方差为1。
ei 为特殊因子，与公共因子均不相关且均值为0。
ai1, ai2 ,, aim 为对第i 门科目考试成绩的因子载荷
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§6.1.2 因子分析的基本理论及模型
第六章 因子分分析
•§6.1 因子分析的基本理论 •§6.2 因子载荷的求解 •§6.3 因子分析的步骤与逻辑框图 •§6.4 因子分析的上机实现
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第六章 因子分分析
因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技 术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探 求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量 来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反 映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测 的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量， 称为因子。