第五章 光的干涉5－1 波长为589.3nm 的钠光照射在一双缝上，在距双缝200cm 的观察屏上测量20个条纹共宽3cm ，试计算双缝之间的距离。

解：由题意，条纹间距为：cm e 15.0203==∴双缝间距为：m e D d 391079.015.0103.589200--⨯≈⨯⨯==λ5－2 在杨氏干涉实验中，两小孔的距离为1.5mm ，观察屏离小孔的垂直距离为1m ，若所用光源发出波长1λ＝650nm 和2λ＝532nm 的两种光波，试求两光波分别形成的条纹间距以及两组条纹的第8级亮纹之间的距离。

解：对于1λ＝650nm 的光波，条纹间距为：m d D e 339111043.0105.1106501---⨯≈⨯⨯⨯==λ 对于2λ＝532nm 的光波，条纹间距为：m d D e 339221035.0105.1105321---⨯≈⨯⨯⨯==λ ∴两组条纹的第8级条纹之间的距离为： m e e x 3211064.0)(8-⨯=-=∆5－3 一个长40mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系，继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了30个条纹。

已知照射光波波长为656.28nm ，空气折射率为1.000276，试求注入气体的折射率n g 。

解：气室充入空气和充气体前后，光程的变化为： D n g )000276.1(-=∆δ 而这一光程变化对应于30个波长： λδ30=∆∴λ30)1(=-D n g000768.1000276.110401028.6563039=+⨯⨯⨯=--g n5－4 在菲涅耳双面镜干涉实验中，光波长为600nm ，光源和观察屏到双面镜交线的距离分别为0.6m 和1.8m ，双面镜夹角为10－3rad ，求：（1）观察屏上的条纹间距；（2）屏上最多能看到多少亮条纹？解：如图所示，S 1S 2的距离为：αsin 2l d =∴条纹间距为：αλλsin 2)(l q l d D e +== ∵α角很小∴mmm l q l e 2.1102.1106.0210600)8.16.0(2)(339=⨯=⨯⨯⨯⨯+=+≈---αλ 屏上能产生条纹的范围，如图阴影所示mmm q qtg y 6.3108.12223=⨯⨯=≈=-αα∴最多能看到的亮条纹数为：32.16.3===e y n5－5 在如图所示的洛埃镜实验中，光源S 1到观察屏的距离为2m ，光源到洛埃镜面的垂直距离为2.5mm 。

洛埃镜长40cm ，置于光源和屏的中央。

若光波波长为500nm ，条纹间距为多少？在屏上可看见几条条纹？ 解：在洛埃镜实验中，S 1和S 1在平面镜中的像S 2可看作是产生干涉的两个光源。

条纹间距为：mm d D e 2.01025.210500239=⨯⨯⨯⨯==--λ 由图可知，屏上发生干涉的区域在P 1P 2范围内mm mm mmmm OB O S BP tg BP P P 67.112005.2800101001≈⨯===θ mm mmmmmm OA O S AP tg AP P P 75.38005.21200102002=⨯===θ 由于经平面镜反射的光波有π的相位差，所以S 1和S 2可看作位相相反的相干光源。

若P 0点在干涉区内，它应该有一条暗条纹通过，并且P 1 P 0内包含的暗条纹数目：4.82.067.1011===e P P N P 2 P 0内包含的暗条纹数目为：8.182.075.3022===e P P N ∴P 1 P 2区域内可看见10个暗条纹，9个亮条纹P 01P 2E5－6 用λ＝0.5nm 的绿光照射肥皂泡膜，若沿着与肥皂泡膜平面成30°角的方向观察，看到膜最亮。

假设此时干涉级次最低，并已知肥皂水的折射率为1.33，求此时膜的厚度。

当垂直观察时，应改用多大波长的光照射才能看到膜最亮？ 解：在观察膜最亮时，应满足干涉加强的条件：λλθm n n h =+-=∆2sin 212202 m ＝0，1，2，3，……按题意，m ＝1，︒=301θ∴肥皂膜厚度：m n n m h 7122021024.1sin 2)21(-⨯≈--=θλ若垂直观察时看到膜最亮，设m ＝1，应有：22λ=nh∴nm nh 6604≈=λ5－7 在如图所示的干涉装置中，若照明光波的波长λ＝640nm ，厚度h ＝2mm ，折射率n ＝1.6（6.1>H n ），问（1是暗斑？（2）由中心向外计算，第10个亮斑的半径是多少？（310个亮环处的条纹间距是多少？设望远镜物镜的焦距为25cm 。

解：（1（021==θθ）对应的光程差为： mm nh 4.626.122=⨯⨯==∆ 干涉级次为：10000106404.660=⨯=∆=-λm∴环中心是一亮斑。

（2）当中心是亮斑时，由中心向外计算，第10 rad h nN 0716.0210640106.1610≈⨯⨯⨯==-λθ∴半径为：mm mm f r 9.172500716.01010=⨯==θ （3）第十个亮环处条纹的角间距为：rad mmmmh n 361010575.320716.02106406.12--⨯≈⨯⨯⨯⨯==∆θλθ∴间距为：mm f e 894.010575.32503≈⨯⨯=∆=-θ5－8 如图，单色光源S 照射平行平板G ，经反射后通过透镜L 在其焦平面E 上产生等倾干涉条纹，光源不直接照射透镜，光波长λ＝600nm ，板厚d ＝2mm ，折射率n ＝1.5，为了在给定系统下看到干涉环，照射在板上的谱线最大允许宽度是多少？ 解：设干涉环中心的干涉级次为0m ，则：λλ0022m nd =+=∆∴21100002120+=+=λndm 将m 改写成：ε+=10m m ，则1m 是最靠近中心的亮条纹的干涉级次，100001=m为了能看到干涉环，最大允许谱线宽度λ∆应满足： λλλ)1()(11+=∆+m m ∴最大允许的谱线宽度为：nm m 06.01==∆λλ5－9 如图，G 1是待检物体，G 2是一标定长度的标准物，T 是放在两物体上的透明玻璃板。

假设在波长λ＝550nm 的单色光垂直照射下，玻璃板和物体之间的锲形空气层产生间距为1.8mm 的条纹，两物体之间的距离为80mm ，问两物体的长度之差为多少？解：当垂直入射时，条纹间隔为：αλsin 2n e =∵在该题中是空气层的楔角，且α角很小∴αλ2≈e ∴rad e 3610153.08.12105502--⨯=⨯⨯==λα ∴两物体的长度之差为：mm mm R Rtg h 331024.1210153.080--⨯=⨯⨯=≈=∆αα5－10 如图所示的尖劈形薄膜，右端厚度d 为0.0417mm ，折射率n ＝1.5，波长为0.589μm 的光以30°角入射到表面上，求在这个面上产生的条纹数。

若以两块玻璃片形成的空气劈尖代替，产生多少条纹？解：经劈尖上下两表面反射的光发生干涉，其光程差近似为： θ'=∆cos 2nh其中θ'是在上表面的折射角，h 表示平均厚度。

由折射定理：33.030sin sin =︒='nθ 计算得：943.0cos ='θ 在上表面产生的条纹数，即在劈尖最右端的暗纹或亮纹级数。

此时h ＝d ＝0.0417mm产生暗纹条件： λλθ)21(2c o s2+=+'m nd m ＝0，1，2，3，…… ∴20010589.0943.0100417.05.12cos 263=⨯⨯⨯⨯⨯='=--λθnd m劈尖棱线处是暗条纹，因此表面上有201条暗条纹，200条亮条纹 当用两块玻璃片形成的空气劈尖代替时，866.030cos cos =︒='θ 在劈尖最右端的暗纹级数为：6.12210589.0866.0100417.012cos 263=⨯⨯⨯⨯⨯='=--λθnd m因此表面上有123条暗条纹，122条亮条纹5－11 集成光学中的楔形薄膜耦合器如图所示。

楔形端从A 到B 厚度逐渐减小到零。

为测定薄膜的厚度，用波长λ＝632.8nm 的He －Ne 激光垂直照明，观察到楔形端共出现11条暗纹，且A 处对应一条暗纹。

已知薄膜对632.8nm 激光的折射率为2.21，求薄膜的厚度。

解：薄膜的折射率大于玻璃，因此入射光在楔形薄膜上表面反射有相位突变。

产生暗条纹满足条件： λλ)21(22+=+=∆m nh m ＝0，1，2，3，…… 在薄膜B 处，h ＝0，2λ=∆，所以B 处对应一暗纹。

∴第11条暗纹在薄膜A 处 ∴λλ)2111(22+=+nh ∴A 处薄膜的厚度为：mm n h 0014.021.22108.632102106≈⨯⨯⨯==-λ5－12 如图，在一块平面玻璃板上，放置一曲率半径R 很大的平凸镜，以观察牛顿环条纹。

（1）证明条纹间隔e 满足：NR e λ21=，式中N 是由中心向外计算的条纹数；（2）若分别测得相距k 个条纹的两个环的半径为N r 和k N r +，证明：λk r r R Nk N 22-=+证明：（1）透镜凸表面和玻璃板平面间的空气层中心O 的厚度为零，可知牛顿环中心为一暗斑。

设由中心向外计算，第N 个暗环的半径为N r ，则由图中几何关系可知：22222)(h Rh h R R r N -=--=∵h R >> ∴Rh r N 22=又∵N 个条纹对应的空气层厚度差为： 2λNh =∴λNR r N =2 对上式微分，得：dN R dr r N λ=2当1=dN 时，e dr = ∴条纹间距为：NR r R e N λλ212==（2）由上面推得得结果： λNR r N =2λR k N r k N )(2+=+ ∴λR N k N r r N k N )(22-+=-+ ∴ λk r r R Nk N 22-=+5－13 在观察牛顿环时，用1λ＝580nm 的第五个亮环与用2λ的第七个亮环重合，求波长2λ为多少？解：设由中心向外计算，第N 个亮环的半径为N r ，则：Rh r N 22=亮环满足的光程差条件为：λλN h =+22 ∴λ)21(-=N h ∴λR N r N )21(2-=由题意，用1λ＝580nm 的第五个亮环与用2λ的第七个亮环重合∴21)217()215(λλR R -=-∴nm 54.40113912==λλ5－14 曲率半径为R 1的凸透镜和曲率半径为R 2的凹透镜相接触如图所示。

在钠黄光λ＝589.3nm 垂直照射下，观察到两透镜之间的空气层形成10个暗环。