盛年不重来，一日难再晨。

及时宜自勉，岁月不待人。

4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴)2(i ，⑵ i, ⑶ )3(d 。

解：⑴ 1200)21(1000)2(=+⨯i ；所以4.0)2(==i⑵2)2()21(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m nd d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()(1)(；所以， 13)3()1()31(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n时，证明：i idd n n <<<<)()(δ。

证明：①)(n d d <因为，Λ+⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)(32)(2)(10)()()(1)1(1nd C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n )(1n d ->所以得到，)(n d d <；②δ<)(n d )1()(mn em dδ--=；mm C m C m C m ennnmδδδδδδ->-⋅+⋅-⋅+-=-1)()()(1443322Λ所以，δδ=--<)]1(1[)(mm dn③)(n i <δi ni nn +=+1]1[)(， 即，δ=+=+⋅)1ln()1ln()(i n i n n 所以，)1()(-⋅=n n e n i δmmC mC mC me n n n n δδδδδδ+>+⋅+⋅+⋅++=1)()()(1443322Λδδ=-+>]1)1[()(nn in④i i n <)(i ni nn +=+1]1[)(，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+Λ所以，iin <)(6．证明下列等式成立，并进行直观解释：⑴nmm n m a v a a +=+；解：iv a nm nm ++-=1，iv a m m-=1，iv v i v v a v nm m n mnm +-=-=1所以，n m nm m m n mma iv v v a v a ++=-+-=+1⑵n mmn m s v a a -=-；解：iv a nm nm ---=1，iv a m m-=1，iv v s v nm m n m--=-所以，n m nm m m n mma iv v v s v a --=-+-=-1⑶nmm n m a i s s )1(++=+；解：i i s m m1)1(-+=，ii i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1()1()1(+-+=-++=++所以，nm mn m m n mms ii i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(⑷nmm n m a i s s )1(+-=-。

解：（同上题）略。

7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。

假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。

解：210220211012020210301)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s-+++⋅-+=++⋅=所以60岁时存款有5.5975930030=⋅s （元）由此知，2020s a X =⋅，可得X=7774.12（元）8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。

从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。

假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。

解：82.2288095000120=⋅=⋅=⋅∞s iX A X 。

所以79.18304=X （元）10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。

假设年利率为12%，求这一年金的现值。

解：94.436211000)1(8100)1(1001000)(100100988191=⋅⋅++-++=++=--∞v iii a i a Ia a a &&1．依据生命表的基础填充下表：xx lx dx px q0 1000 100 0.9 0.1 1 (900) (150) (5/6) (1/6) 2 750 (150) 0.8 (0.2) 3 (600) (300) (0.5) (0.5) 4 300 (180) (0.4) 0.6 5 (120) (120) (0) (1) 63.已知)1201(1000xl x -=，计算： ⑴0l，120l，33d ，3020p ，2030q ；⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率； ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。

解：⑴1000)1201(10000=-=l ；0)1201201(1000120=-=l 32512011000343333=⋅=-=l l d9730503020==l l p ；3.02050202030=-=l l l q ⑵19125504525520=-=l l l q⑶074646449.0)198()(3325802555===l l p4．若)(100000xc xc l x +-=，4400035=l ，求：⑴c 的值；⑵生命表中的最大年龄；⑶从出生存活到50岁的概率；⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。

解：⑴44000)3535(10000035=+-=c c l 。

所以，c=90 ⑵0)9090(100000=+-=x x l x ，所以，90=ω ⑶134050050==l l p ⑷32155040151052=-=l l l q 。

5．证明并作直观解释：⑴x m n x n x mn p p q +-=；证明：x m n x n xmn x x n x x m n x n x x m n p p l l l l l l l q +++++++-=-=-= ⑵n x x n x nq p q +⨯=；证明：n x x n nx n x x n x x n x x n x n x x nq p l l l l l l l l l q +++++++++⨯=⋅-=-=11⑶nx m x n x mn p p p ++⨯=。

证明：n x m x n nx mn x x n x x m n x x mn p p l l l l l l p ++++++++⨯=⋅==6．证明：⑴⎰-++=xxt x t x l dt l ωμ0； ⑵⎰-+=xt x x tdt p ωμ01； ⑶)(t x x x t x t p p x+-⨯=∂∂μμ； ⑷t x x t x t p p t+⨯=-∂∂μ。

证明：⑴x xx x x x t x t x l l l l l dt l =-=-=⎰--++++ωωωμ0⑵⎰⎰⎰--+-+-++++=-⋅-=⋅-=-=xx x x xxt x x xt x t x x t x t x x tl l l dl l dl l l l dt p ωωωωμ01)(1111； ⑶)()()()(2t x x x t xxt x t x x t x x t x x t x x t x x x t x x tx xt p l Dl l Dl l l l Dl l Dl l l Dl l Dl l l x p x +++++++++-⨯=-=-=⋅-⋅=∂∂=∂∂μμ⑷t x x t tx t x x t x x t x x tx x t p l Dl l l l Dl l l x p t ++++++⨯=-⋅==∂∂==∂∂μ)(。

8．若774640=l ，768141=l ，计算4140μ：⑴死亡均匀分布假设；⑵鲍德希假设； ⑶假设x l x -=1001000解：⑴008409068.0140404140=⋅-=q t q &μ； ⑵008426834.0,140414140=∴=====-⋅-μμμμμe l l p t e p x t x t 可令Θ ⑶008444573.0)1(14140=--=xxq t q μ。

9．证明在鲍德希规律下，xn q与n 无关。

证明：xx s n x s n x s q xx s x n-=++-+=-=ωω1)()1()(1)(Θ所以，xn q与n 无关。

1某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现值。

解：5.45522775.0200020002000101881018101088=⋅=-=⋅+++++N N N a （元）2．证明下列等式成立，并解释其含义。

⑴1+=x x x a vp a &&； 证明：111++=-=-==x x x xxx x x x a vp a D D N D N a &&&& ⑵11++=x x x a vp a &&&&； 证明：11+=-x x x a vp a &&&&所以，11++=x x x a vp a &&&&⑶)1(::x n n x nx E a a -+=&&；证明：nx xnx x xn X n x xx x n X x n x x x n n x a D N N D D N D N D D D N N E a :1111:)()1()1(&&=-=+-+=-+-=-++++++++++⑷n x x n nx na p v a +⋅⋅=；证明：n x x n n n x n x x n n xn x n x x n x n x x na p v D Np v E D N E D N a ++++++++⋅⋅=⋅⋅=⋅==111⑸nm x x m mm x m n x a p v a a :::++⋅⋅+=；证明：mn x xn m x x x n m x m x x m x x n m x x m m m x xn m x m x m x n m x m x x m nm x x m mxm x x m x xm n x x m n x a D N N D N N D N N a p v a D N N D N N E a p v D N N a D N N a ++++++++++++++++++++++++++++++++++=-=-+-=⋅⋅+∴-=-⋅=⋅⋅-=-=:111111::1111:11:11:⑹11)1(--+=⋅x x x a i a p &&证明：1111111111)1(---------+=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅x x x xx x x x x x x x x x a i D p v N p D E N p D N p a p &&3．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k 元的生存年金。