【典型例题】考点一：圆柱侧面上两点间的距离 例1：请阅读下列材料：问题：如图，一圆柱的底面半径及高AB 均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线。
小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的两端AC 。
如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则222222215(5)2525l AC AB BC ππ==+=+=+路线2：高线AB + 底面直径BC 。
如上图（1）所示：设路线2的长度为2l ，则225)105()(2222=+=+=AC AB l222212252522525200l l ππ-=+-=-225(8)0π=->∴2221l l > ∴21l l >所以选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm”继续按前面的路线进行计算。
请你帮小明完成下面的计算：路线1：==221AC l ____________； 路线2：=+=222)(AC AB l __________ ∵2221_____l l ∴ 21_____l l ( 填>或<)所以应选择路线____________(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短。
【思路分析】本题是阅读理解题,题目信息量大,认真阅读从中找出做题的思想和方法,利用图形的展开与勾股定理进行求解．解：(1)线路1: ==221AC l 225π+ 线路2:=+=222)(AC AB l 36 ∵2212l l < ∴ 12l l <( 填>或<) 所以应选择路线___1_(填1或2)较短. (2)线路1: ==221AC l 222h r π+线路2:=+=222)(AC AB l 2()h r +22212(2)0l l r r h r π-=--<∴ 12l l <( 填>或<)所以应选择路线___1_(填1或2)较短.方法与规律总结：学会正确应用勾股定理，解决实际应用问题,学会处理信息和收集信息的能力.例2：如图，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识论证你的结论．【思路分析】下滑前后梯子的长度是不变的.梯子滑动前后底端与墙底的距离用勾股定理可以求得. 解：是．在Rt △ACB 中,BC=3,AB=5,AC 2=AB 2-BC 2=42,AC=4米，DC=4-1=3. 在Rt △DCE 中：DC=3,DE=5, CE 2=DE 2-DC 2=42,CE=4米．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．方法与规律: 学会画草图.画草图的过程实际就是将实际问题转化为数学问题的过程，即数学建模过程，利用直角三角形求线段长。
考点二：线段是否垂直的问题例3：小月同学根据印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出的“荷花问题”编了一道“新荷花问题”：“平平湖水清可鉴，某处湖底生有莲，湖水深知3.75尺，面上红莲有半尺；忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远，恰露花朵在水面；此莲出泥而不染，是否亭亭立湖间？【思路分析】首先要根据题意画出图形，构造成三角形，利用三角形的三边关系确定三角形是否是直角三角形，从而说明花是否与湖面垂直。
解：根据题意画图如下：BD=0.5尺,BC=3.75尺,AC=BD+BC=0.5+3.75=4.25尺,AB=2尺.在△ABC 中,因为AB 2+BC 2=22+3.752=18.0625=4.252=AC 2,所以∠ABC=90°.因为水面是水平的,故荷花亭亭立于湖水中.友情提示:本题的创新之处是以原材料为基础,创造出新的材料、新的背景，要判断荷花是否亭亭立，实际是判断CD ⊥AB 是否成立。
例4：如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B 修一条公路BD 直达AC.已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？【思路分析】先利用勾股定理的逆定理确定此三角形是直角三角形，然后利用等积法求出直角三角形斜边上的高。
解：在△ABC 中，AB 2+BC 2＝52+122＝169＝132,AC 2＝132＝169,故AC 2＝AB 2+BC 2，可判定△ABC 是直角三角形。
由面积关系,2121AB BC AC BD ⋅=⋅即13BD ＝12×5,解得BD ＝1360，即公路的最短距离BD=1360km ， ∴最低造价为120000元.考点三：勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用例5： 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,1.5小时后两船相距多远?【思路分析】根据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解.解：如下图,由题意知△AOB 为直角三角形,因为OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里).在Rt △AOB 中,由勾股定理得AB 2=OA 2+OB 2=242+182=576+324=900,所以AB=30海里。
所以1.5小时后两船相距30海里。
友情提示：解决航行问题的关键是确定船的航行路线，理解方位角、灯塔等概念。
在确定航行路线时，一般会碰到几何图形的形状，这其中的直角三角形是最常见的图形之一，要确定它，就需利用直角三角形的判定条件。
例6：如图，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落到点C ˊ处，BC ˊ交AD 于点E ，AD=8,AB=4,求△BED 的面积.【思路分析】由于△BED 的面积=21DE·AB,所以只要求出DE 的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE.在Rt △ABE 中,利用勾股定理列方程求出BE 的长.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以AD ∥BC,所以∠2=∠3,由折叠的过程知△BCD 与△BC ˊD 关于直线BD 对称,所以∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以BE=ED.设ED=x,则AE=AD-ED=8-x,在Rt △ABE 中,因为AB 2+AE 2=BE 2,所以42+(8-x)2=x 2,解得x=5,所以DE=5.所以△BED 的面积:21DE·AB=21×5×4=10. 方法与规律总结:本题是勾股定理与方程思想、数形结合思想的结合。
解决此类问题的关键是根据对称确定等量关系，然后利用勾股定理把问题转化成方程的问题求解。
例7：有一个长、宽、高分别是0.3米，0.4米、1.2米的纸箱，那么，能放入纸箱内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能帮丽丽估计一下吗？【思路分析】当竹竿倾斜放置时，竹竿的长度最大，由此可把问题转化成勾股定理的问题进行求解。
解：如图所示，连接BD 、DF ，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2=AD 2+AB 2,而DF 2=BD 2+BF 2,所以DF 2=AD 2+AB 2+BF 2=0.32+0.42+1.22=1.69=1.32,所以DF=1.3.竹竿的最大长度约是1.3米.【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了勾股定理的实际应用。
本讲所涉及到的数学思想主要是数形结合的数学思想以及方程的思想。
例如航海问题、折叠问题、物品安置问题、测量问题等等，都需要把勾股定理运用到方程思想、数形结合思想中。
预习导学案（2）(平方根）一、预习前知1、什么是无理数？2、什么是平方根？什么是算术平方根？二、预习导学探究与反思探究任务①：面积为2的正方形的边长a1、借助计算器多次探索a 的整数部分和小数部分2、探索的结果可以发现a 既不是整数，也不是分数。
【反思】（1）什么是无理数？（2）你能估计面积为10的正方形的边长x 吗？ 探究任务②：算术平方根和平方根 1、回答课本提出的两个问题2、归纳出算术平方根、平方根的概念【反思】（1）一个正数有几个平方根？几个算术平方根？ （2）负数有没有算术平方根和平方根？三、牛刀小试1. 在下列各数0，0.3，3.14，π，3.12103，5.21021002100021…中是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 下列说法正确的是（ ）A.无理数是小数B.有理数就是有限小数C.正数、0、负数统称为有理数D. 无限小数是无理数 3．81的平方根是______。
4．________的算术平方根和平方根等于它本身。
5．若249x ，则x=________．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 现有两根木棒，长度分别为44cm 和 55cm ，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）cmA. 55B. 44C. 33D.222. 如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ）A. 45mB. 40mC. 50mD. 56m.3. 如图，已知雕塑底座的AB 边长160cm ,AD 为120cm,要使AB 垂直于AD,BD 的长应为（ ） A. 180cm B. 200cm C. 220cm D. 240cm4. 如图，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD 的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A 处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D 三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（ ）A. 14mB. 13mC.12mD.10m﹡5. 如图，在高为5m,坡长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. 17m B. 18m C. 25m D. 26m﹡6.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（）A. 8B. 5C. 3D. 2﹡7. 放学后，斌斌先去同学小华家玩了一会，再回到家里。
已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（）A. 正东方向B. 正南方向C. 正西方向D. 正北方向﹡8.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上答案都不对二、填空题9. 一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.﹡10.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行15千米，此时轮船与A点的距离为______。