3 解：在直角坐标系中，作
AOB
5
，易知
AOB
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(
1 2
,
2
3
)
，
所以 sin 5 3 cos 5 1 tan 5 3
，
y
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
7 3 1 6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos 7 3 ,
6
2
7 3
tan
63
例2 已知角 的终边经过点P0 (3,4) ，求角 的正弦、余
1 OP
OP0
5
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
定义推广：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y叫做 的正弦，即 sin y
r
r
②
x r
OM OM
若OP r 1，则
Y
P(a,b)
O
M
sin
MP OP
b
cos OM a
X
OP
tan
MP OM
b a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
y 那么:（1） 叫做 的正弦，记作sin ，即sin y ；
（2）x 叫做 的余弦，记作cos ，即cos x
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
c
Ob
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
a
sin c
a
b
cos c
M
a
tan b
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP ry﹒Pa来自 b tan MP b
OM a
o
﹒
M
x
诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP OP
tan MP M P
4
是第四象限角，所以sin 0
4
.
练习 确定下列三角函数值的符号
cos16
5
sin( 4 )
3
tan(17 )
8
例5 求下列三角函数值：
（1） cos 9
4
（2t）an( 11 )
6
解：（1）cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
（2）tan( 11 ) tan( 2 ) tan tan 3
叫做
的余弦，即
cos x
r
③
y x
叫做
的正弦，即
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点P 在角的
终边上的位置无关.
巩固 提高
练习 已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x2 y2 122 52 13
于是， sin y 5
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan 0 成立，所以角 的终边可能位
于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
6
6
6
63
练习 求下列三角函数值
tan 19
3
3
1 tan( 31 ) 4
作业：
感谢下 载
例4 确定下列三角函数值的符号：
（1）cos 250 （2t）an( 672) （si3n）
解： （1）因为
250
是第三象限角，所以cos250 0
4
；
（2）因为 tan(672) =tan(48 2 360) tan 48
，
而48 是第一象限角，所以tan(672) 0 ；
（3）因为
；
y
（3）
叫做
即x
y
的正切，记作tan ， tan y ( x 0)
。
x
所以，正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数， 我们将他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
实例 剖析
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
r 13
tan y 5
x 12
cos x 12
r 13
探究：
1.三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin
R
cos
R
tan
k
2
,k
Z
2.三角函数值在各象限的符号
y
y
y
（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）
o
x
o
x
o
x
（
）（
sin
）（
）（ ）
cos
（
）（
tan
）
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线MP M、0 P0 M0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
Px, y
OMP ∽ OM 0P0
P0 3,4
于是，sin y y | MP | M0P0 4 ;
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .