4
4
( (a b)2 c2 )((c2 (a b)2 )
4
4
abc • abc • acb •bca
2
2
2
2
令
p
1 abc
2
S p p a p b p c
学以致用
1、如图，在△ABC中，a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积，运用我们已 经学习过的知识可以直接求解吗？
海伦-秦九韶公式
中数推广组 江彬
教学目标
1、知识与技能： （1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同； （2）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法： （1）经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养学生严谨的数学逻辑思维； （2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观： （1）体会到数学的简洁美； （2）体会数学以不变应万变的魅力。 (3) 提高学生文化修养,进行爱国主义教育.
a 2 x2 h2
1
c2
x
b

2
h2
2
类似于△ABC是锐角三角形的情况可得：
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
若△ABC是直角三角形，设∠C=90°，则由勾股定理有：
S 1 ab
1
a
2b
2
(
a2
b2
c2
)2
2
4
2
认识海伦公式
三角形的面积：S p p a p b p c
a 2 x2 h2
1
c2
b
x
2
h2
2
将（3）带入（1）式得： h
x a2 b2 c2 3
2b
4a2b2 (a 2 b 2 c 2 ) 4b 2
由于三角形面积：S 1 b h 由上式即得：
2
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
若△ABC是钝角三角形，设∠A＞90°，则由勾股定理有：
海伦-秦九韶公式的由来
能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
S
1 4
a
2b2
a
2
b2 2
c2
2
( 1 ab)2 ( a2 b2 c2 )2
2
4
(1 ab a2 b2 c2 )(1 ab a2 b2 c2 )
2
4
2
4
( 2ab a2 b2 c2 )(2ab a2 b2 c2 )
知识背景
秦九韶在《数书九章》序言中说，数学"大 则可以通神明，顺性命;小则可以经世务， 类万物"。所谓"通神明"，即往来于变化莫 测的事物之间，明察其中的奥秘;"顺性命"， 即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看 来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且 应该达到"通神明，顺性命"的崇高境界。
秦九韶还创用了"三斜求积术"等，给出了已知三角形三边求三 角形面积公式，与古希腊数学家海伦(Heron，公元50年前后)公 式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的"坚 三穿四壤五，粟率五十，墙法半之"等，即使对当前仍有现实意 义。秦九韶还在十八卷77问"推计互易"中给出了配分比例和连 锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。
∴132-x2=142-(15-x)2
解得：x=6.6 则h=11.2
D
∴S△ABC=84
合作交流、探究新知
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三 斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰： “三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘 大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为a，小斜记为b，中斜记为c，用 现代公式表示即为：
复习旧知，引入新课
1、三角形面积公式： S 1 底 高
2
2、如图，在△ABC中，a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积，运用我们已 经学习过的知识可以直接求解吗？
解：过A点作AD⊥BC于D，设BD=x，CD=15-x，AD=h
利用勾股定理得：
h2=132-x2,h2=142-(15-x)2
由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为： 在任意内接于圆的四边形ABCD中，设四条边长分别 为a、b、c、d，且 p a b c d
2
则S四边形= ( p a)(p b)(p c)(p d)
THE END
博物致知始现良知， 喻事明理方为人杰。
解：p a b c 15 14 13 21
2
2
S△ABC p( p a)( p b)( p c) 21 (2115) (2114) (2113)
84
海伦-秦九韶公式猜想
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想， 简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程
中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式
S ABC
1 2
aha
入手，利用勾股
定理，列方程组求高。
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
秦九韶公式的证明
证明：如图BT是三角形AC边上的高，点T为垂足，记AB=c，AC=b，BC=a，BT=h，CT=x 若△是锐角三角形，则由勾股定理得:
其中：a、b、c分别是三角形的三边长，
p
1 2
a
b
c
海伦公式,此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海 伦发现的，并可在其于公元60年的《度量》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德 时代已经懂得这条公式，而由于《度量》是一部古代数学知识的结集，该公式的发 现时期很有可能先于海伦的著作。