高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。

3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。

4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。

5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。

7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。

10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。

二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。

2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。

四、求解下列问题（16分）1、（8分）求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧。

2、（8分）求1)2()1(),(22+-+-=y x y x f 在区域{}20|),(22≤+=y x y x D 上的最大值 和最小值。

五、求解下列问题（共计14分）1、（8分）求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。

2、（6分））已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中D={（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}，计算二重积分''(,).xy DI xyf x y dxdy =⎰⎰高等数学（下册）期中考试答案20110504一、1、2/50； 2、（1，1，2）；；3、函数),(y x f z =在),(00y x 处的偏导数连续;函数),(y x f z =在),(00y x 处连续, 偏导数存在. 4、dy za ydx z a x dz -+-=； 5、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 6、π2； 7、32a π；8、⎰⎰⎰------1111102222),,(x xy x dz z y x f dy dx ； 9、⎰⎰⎰ππθθθϕ202013cos sin dr r d d 10、 π二、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且)1,0,1(221zy x x u A ++=∂∂2/1=； 01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y yzy x y u A ；2/11)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z zy x zu A而),1,2,2(-==所以)31,32,32(-=,故在A 点沿=方向导数为：=∂∂Alu Axu ∂∂αcos ⋅+Ayu ∂∂βcos ⋅+Azu ∂∂γcos ⋅.2/13121)32(03221=⋅+-⋅+⋅=2、解：'''121(,(,))(,(,))(,).zf x y f x y f x y f x y f x y x∂=+++⋅∂2''''''''11122122(,(,))(,(,))(,)(,)(,(,))z f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂=+++⋅+⋅+∂∂'''''1121222(,)[(,,(,))(,(,))(,)].f x y f x y f x y f x y f x y f x y +++⋅由题意知''12(1,1)0,(1,1)0f f ==，从而2'''''11212(1,1)(2,2)(2,2)(1,1).z f f f x y ∂=+∂∂三、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010:所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(x y x z y x dzdy dx I ⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]41)1(1[21 ⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x 2、在柱面坐标系中⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(thrdz r f z dr d t F ⎰+=tdr r h r r hf 032]31)([2π所以]31)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π 四、1、连接→OA ，由Green 公式得：⎰⎰⎰-+=OAOALI ⎰⎰-=+OAOAL⎰⎰=≥≤+++-0,220)cos cos (y ax y x xx Green dxdy m y e y e 公式281a m π=2. ⎩⎨⎧=-='=-='0)2(20)1(2y f x f y x 得),(y x f 在D 内的驻点)2,1(M ，令)20(1)2()1(2222-+++-+-=y x y x L λ解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂02002)2(202)1(222y x Ly y y Lx x x Lλλλ 得条件驻点)4,2(),4,2(21--M M于是由46)(,6)(,1)(21===M f M f M f 得所求的最大值为46，最小值为1。

五、1 由于介于抛物面224y x z ++=，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面π，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积V 为最大即可。

设π与224y x z ++=切于点),,(000z y x P ，则π的法向量为)1,2,2(00-=y x ，且202004y x z ++=，切平面方程为：0)()(2)(200000=---+-z z y y y x x x即202000422y x y y x x z --++=于是⎰⎰⎰-≤+---++=222020001)1()4sin 2cos 222ππρθρθρρσd y x y x zd V y x （极坐标)42(20200y x x --+=π则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=-=∂∂000020)22(y y V x x Vππ，得驻点（1，0）且.5,50)0,1(==z Vπ由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。

此时的切平面π为：32+=x z2 因为(1,)0f y =，(,1)0f x =，所以''(1,)0,(,1)0.y x f y f x == 从而 11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11''10[(,)(,)]y x x y x yf x y f x y dy dx ===-⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =-⎰⎰1110[(,)(,)]x x xf x y f x y dx dy ===--⎰⎰11(,).dy f x y dx a ==⎰⎰。