ξ = x + at , η = x − at ,
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⎧ξ = x + at 在变换 ⎨ ⎩η = x − at
下， 利用复合函数微分法则得:
∂u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂ η ∂ u ∂ u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂ η ∂ x ∂ ξ ∂ η
∂ u ∂ u ∂ u ∂ u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2 2 2 2
同理有:
⎡ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ = a2 ⎢ 2 − 2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
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用行波法求解这一问题,首先要求出 utt = a uxx 的 通解.可作如下代换: ⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
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一维齐次波动方程
utt = a uxx
2
的通解为:
u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
其中 f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数.
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利用初始条件来确定通解中的任意函数 f1 , f 2 .将 通解代入定解条件中,得:
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因为在特征线 x − at = C 2 上,右行波 u2 = f 2 ( x − at ) 的振幅取常数值 f 2 (C 2 ) ,在特征线 x + at = C1 上,左行波 u 1 = f1 ( x + at )的振幅取常数值 f1 (C1 ) ,且这两个数值随 特征线的移动(即常数 C i ( i = 1, 2) 的改变)而改变,所以波 动实际上是沿特征线传播的.
u( x , y ) = f1 (3 x − y ) + f 2 ( x + y )
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例题
代入 u | y = 0 = 3 x , u y | y = 0 = 0 得:
2
⎧ f1 (3 x ) + f 2 ( x ) = 3 x 2 ⎪ ⎨ ⎪ − f1′(3 x ) + f 2′( x ) = 0 ⎩ 1 − f1 (3 x ) + f 2 ( x ) = C 3 f1 (3 x ) = (4 9) x 2 − C ′
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对于常微分方程
⎧ y′′( t ) = 0 ⎪ ⎨ y′(0) = 1 3 ⎪ y(0) = 0 ⎩
B=0
先求通解: y( t ) = At + B
⎧ A·0 + B = 0 再用初始条件求特解: ⎨ ⎩A = 1 3
y( t ) = (1 3)t
2
利用复合函数微分法则得: ∂u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂ η ∂ u ∂ u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂ η ∂ x ∂ ξ ∂ η
∂ u ∂ u ∂ u ∂ u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2 2 2 2
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代入 utt = a 2 uxx 得:
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
再Байду номын сангаас特解,形如:
1 u= [ 2 1 ] + 2a ∫
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2.特点: (1)求解出发点是基于波动现象的特点为背景的变量 变换; (2)引入了坐标变换简化方程; (3)优点: 求解方式易于理解,求解波动方程十分方便; (4)缺点: 通解不易求,使之有局限性,一般只用它求解 波动问题.
⎧ξ = x + at 变换 ⎨ 常称为特征变换,行波法称为特征线法. ⎩η = x − at
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1.解题步骤:
⎧ utt = a 2 uxx ⎪ ⎨ u |t = 0 = ϕ ( x ) ⎪u | = ψ ( x) ⎩ t t =0
utt = a 2 uxx 求出通解: 先用
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所以在有限的时间内,当初始条件有微小改变 时,其解也只有微小改变,即达朗贝尔解是稳定的. 综上所述,达朗贝尔解是适定的.
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u1 = f1 ( x − at ) 表示一个以速度a 沿x 轴正方向传 播的行波,称为右行波. u2 = f 2 ( x + at ) 表示一个以速度a 沿x 轴负方向传 播的行波,称为左行波. 右行波和左行波的叠加(相加)就给出弦的位移. 即达朗贝尔解表示右行波和左行波的叠加.
u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
⎧ u( x , 0) = ϕ ( x ) ⎨ ⎩ ut ( x , 0) = ψ ( x )
⎧ f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) ⎨ ⎩ af1′( x ) − af 2′( x ) = ψ ( x )
x=
x1
x
+a t
x= x1 t −a
+a
x1 t −a
由此可以看出,在 x-t
1 平面上斜率为 ± a
的两族直线
x ± at = 常数,对一维波动方程 utt = a 2 uxx 的研究起着
utt = a 2 uxx 的 重要的作用,我们称其为一维波动方程
特征线.
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1 1 x C f1 ( x ) = ϕ ( x ) + ∫0 ψ (ξ )dξ + 2 2 2a 1 1 x C f2 ( x) = ϕ ( x) − ∫0 ψ (ξ )dξ − 2 2 2a 将上式代回到 u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
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23
例题
求解弦振动方程的柯西问题 ⎧ ∂ 2u ∂ 2u ( t > 0, −∞ < x < ∞ ) − 2 =0 ⎪ 2 ∂t ∂x ⎨ ⎪ u( x , 0) = x , u ( x , 0) = sin x ( −∞ < x < ∞ ) t ⎩ 由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x −at ψ (ξ )dξ 2 2a
这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔解.
中,即得方程定解问题的特解:
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易于验证,只要φ 有直到二阶的连续导数,ψ 有一阶 的连续导数,达朗贝尔解是满足定解问题的,即达朗贝尔 解是存在的. 又从求解的方法中看到,通解中的任意函数以由初 始条件完全确定,故达朗贝尔解是唯一的. 现在来证明达朗贝尔解的稳定性.设初始条件有两 组,且它们相差很小,即: ⎧ψ 1 ( x ) ⎧ϕ1 ( x ) u |t = 0 = ⎨ ; ut |t = 0 = ⎨ ϕ2 ( x) ⎩ψ 2 ( x ) ⎩
3x − y = C1 x + y = C2
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例题
作特征变换
⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
它的通解为:
∂ 2u 16 =0 ∂ξ∂η
u = f1 (ξ ) + f 2 (η )
其中 f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数.原方程的通解 为:
⎡ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2 =a ⎢ 2 −2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ = a2 2 = a2 ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ∂x ∂ξ∂η ∂η ⎠ ⎝ ∂ξ
化简， 得:
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
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t
( x, t )
依赖区间
O x − at
x + at x
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t
x=
t
t
x1
x=
O
x1
x2
x
O
x1
x2
决定区间
影响区间
在区间[ x1 , x2 ]上给定初始条件,就可以在其决定 区间域中决定初值问题的解.
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⎧ uxx + 2uxy − 3u yy = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪u | y=0 = 3 x , uy | y=0 = 0 ⎩
y > 0, −∞ < x < +∞
−∞ < x < +∞
先确定所给方程的特征线.为此写出它的特征方程: 它的两族积分线为:
(dy )2 − 2dxdy − 3(dx )2 = 0
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思考: 达朗贝尔公式表示，由任意初始扰动引起的 自由振动以行波的形式向正、反两个方向传播出 去，传播的速度正好等于泛定方程中的常数 a .