第五章 机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对的
现认 实识 对来
*与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识.
象源
*通过对数据和现象的分析对事
物内在规律做出的猜想(模型假设).
模型特点：有明确的物理或现实意义
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
例5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的：
1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
代入条件，求得c=42
，k=－
1 3
ln
16 21
,
最后得
1 ln16t
T(t)=18+42 e 3 21
, t ≥0.
结果
：T(10)=18+42 e
1 3

ln
16 21
×10=25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不
变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系.
续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响.
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是：
{Δt时间内的人口增长量}=
{Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为
dT 与 T − m 成正比 dt
数学语言
建立微分方程
⎪⎧ dT = − k (T − m ), ⎨ dt ⎪⎩T (0) = 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或 T = m + ce−kt , t ≥ 0,
积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.
对孔口的流速做两条假设 ：
1．t 时刻的流速v 依赖于
此刻容器内水的高度h(t).
2 ．整个放水过程无能
？ 量损失。
分析： 放空容器
2米
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流 量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即
Q = dV = 0.62S 2gh dt
S—孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) —水面高度（单位：厘米）
t—时间（单位：秒）
当S=1平方厘米，有
dV = 0.62 2ghdt (1)
r1
h(t)
r2
h+Δh
在[t, t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为
的” ，常涉及到导数.
常 用建
运用已知物理定律
机理分
微立 分方
利用平衡与增长式
析法
方法 程
运用微元法
应用分析法
一. 运用已知物理定律
建立微分方程模型时
应用已知物理定律， 可事半功倍
例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记 r = 1002 − (100 − h)2 = 200h − h2
令Δt→ 0, 得
dV=－πr2 dh，
（2）
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
⎪⎧0.62 2ghdt = −π (200h − h2 )dh,
⎨ ⎪⎩h t =0 = 100.
积分后整理得
3
5
t = π (700000 − 1000 h 2 + 3h 2 )
4.65 2 g
0≤h≤100
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.
四.逻辑分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
Δx =－ayΔt, Δy =－bxΔt,
0, 得到微分方程组：
dx = −ay, a > 0 dt
dy = −bx, b > 0 dt
三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.
例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半
的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
5.1 微分方程的建立
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).
直接求 很困难
建立关于未知变量、
未知变量的导数以及 自变量的方程
建立变量能满足 的微分方程
？ 哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化.
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较
高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
+ {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}
更般
一化
基本模型
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程.
输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；
输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立
假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战
斗， x(t)与y(t)都是连续变量.
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵；
{Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数}
平衡式
即有 同理 令Δt