第一讲 坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)
x x
y y
λλϕμμ'=>⎧⎨
'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应
到点
4.9)1(2x
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;
再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)
注:
46
练习2：1.已知极坐标)3
4,
5(π
M ,下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( )
3. 极坐标和直角坐标的互化
(1) 互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标
P12
P12练习5、已知点的直角坐标分别为)32,2(),0,2
7
(),35,0(),3,3(---
，求它们的极坐标。

4.常见曲线的极坐标方程
同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(
,)44
M ππ
可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 练习：P15页、习题1.3
练习：P15页、习题1.3
1.说明下列极坐标方程表示什么曲线
.
sin 2)3();(6
5)2(;
5)1(θρρπθρ=∈==R
3.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：
.
16)4(;
0132)3(;02)2(;4)1(22=-=--=+=y x y x y x
4.把下列极坐标方程化成直角坐标方程:
;
04)sin 5cos 2()2(;
2sin )1(=-+=θθρθρ
.
sin 4cos 2)4(;
cos 10)3(θθρθρ-=-=
第二讲、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()
()
x f t y g t =⎧⎨
=⎩①,并
且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
P22 例1 已知曲线C 的参数方程是)(,12,
32
为参数t t y t x ⎩
⎨
⎧+==
的值。

上，求在曲线）已知点的位置关系；（与曲线判断点a a M M M C ),6(2C )4,5(),1,0()1(321
2．圆的参数
如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+⎧⎨=+⎩
为参数。

3.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与
()
x f t =⎧(
(
P26 练习5.根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：
为参数；设t t y y x y ,1,01)1(2-==---
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y
a b a b
+=>>其参数方程为
cos ()sin x a y b ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩
为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>
cos x b ϕ
=⎧5x y =⎧⎨
=⎩
670(M 0sin x y y t α=⎧⎨
=+⎩
00M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。

我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

x y ⎧⎨⎩。