河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学
案 新人教A 版选修1-1
【学习目标】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；
2.掌握双曲线的标准方程；
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
【重点难点】双曲线定义及其标准方程
【学习过程】
一、问题情景导入：
1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.
2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？
二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）
1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}
21212,2F F a a MF MF M P <=-=
思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程
焦点坐标
c b a ,,的关系
思考：⑴方程13222=-y x 与13
22
2=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？
⑵方程12
2=+n
y m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？
三、例题演练：
例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.
例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；
⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线14162
2=-y x 有共同的焦点，且过点()
2,23的双曲线的标准方程.
例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 2
1sin sin =
-，求动点A 的轨迹方程.
变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.
【课堂小结与反思】
【课后作业与练习】
1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12
22
2=-y x ③12
42
2-=-y x ④369422=-x y
2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程
3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同
5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
6．设双曲线19
162
2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23
7．椭圆134222=+n y x 和双曲线1162
22=-y n
x 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 9
8．已知21,F F 是双曲线19
162
2=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________
9．设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )
A 1 B
5
5 C 2 D 5
10．P 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）
A 内切
B 外切
C 外切或内切
D 无公共点或相交。