第十章 电流和电场一、基本要求1、要求从电场的观点阐明稳恒电流的原理，掌握电流的稳恒条件，确切理解电流密度矢量，电动势概念；2、掌握直流电路的基本规律：欧姆定律、基尔霍夫定律、焦耳定律，并能熟练地运用它们解决有关直流电路问题。

二、基本概念和规律1、电流的稳恒条件 1）电流产生的条件一是物体内有可以移动的自由电荷，因我们只讨论导体内的电流，所以这里的物体必须是导体。

二是导体内要有电场，或导体两端存在电势差。

2）电流密度矢量为了细致描述导体中各点的电流分布，引入电流密度矢量，它的大小为垂直于电流方向的单位截面上通过的电流强度，方向为该点电流的方向，即dS dI=电流密度描述了一个矢量场——电流场，电流场可用电流线（线）形象地描述。

通过导体中任意截面S 的电流强度为 ⎰⎰⎰⎰==SSjds d I θcos ·式中θ为面元ds 的单位法线矢量与电流方向（即与方向）之间的夹角。

上式说明：电流强度是电流密度的通量。

3）电流的连续性方程在电流场中，电荷守恒定律体现为电流的连续性方程：dtdqd S-=⎰⎰· 它说明：单位时间内从闭合曲面S 净流出的电量（即电流强度），应等于闭合曲面S 内单位时间电量的减少。

它亦说明：电流线起始于正电荷减少的地方，终止于正电荷累积的地方。

4）电流的稳恒条件稳恒电流是指不随时间变化的电流，电流的稳恒条件是0·=⎰⎰Sd上式说明：在稳恒电流（即直流电）的情况下，在单位时间内流入任一闭合曲面S 的电量必等于从该闭合曲面S 流出的电量，或者说：稳恒电流线连续地穿过闭合曲面。

因此，稳恒电流线是闭合曲线，也就是说，稳恒电流的电路必定是闭合的。

维持稳恒电流场的电场称为稳恒电场。

它具有与静电场相同的基本规律和性质。

满足静电场的高斯定理和环路定理（因而可以引进电势概念）。

产生稳恒电场的电荷分布不随时间改变。

两者的区别在于：激发静电场的电荷是静止的，在静电平衡时，导体内的场强处处为零；而激发稳恒电场的电荷是运动的，导体内的场强不为零。

2、稳恒电路的基本规律 1）欧姆定律欧姆定律的理论基础是稳恒电场的环路定理∮L 0·=d a 、部分电路欧姆定律a) 一段均匀电路的欧姆定律 积分形式：IR l d E U U bab a ==-⎰·微分形式：γ=式中γ为导体的电导率，等于电阻率ρ的倒数，由导体性质决定。

上式说明，稳恒电流场中任一点的电流密度与该点的场强成正比。

当导体的截面S 或电阻率不均匀时，其电阻可由下式计算⎰=LSdlR ρb ） 一段含源电路的欧姆定律 IR U U b a ±∑+±∑=-ε即一段含源电路两端的电势差等于该段电路上各分段电势差之代数和。

式中ε±∑、IR ±∑取代数和，理应根据电势差（即电压）的概念来确定ε、IR 的正负。

由⎰=-bad U U b a ·可知，电势差U a －U b 是将单位正电荷由a 点沿该段含源电路积分到b 端时稳恒电场力所作的功。

这积分路径的方向称为进行方向。

当该段电路上的进行方与电流方向相同时，电阻（包括电源内阻）上的电势差IR 取正，当该段电路上的进行方向与电流方向相反时，电阻（包括电源内阻）上的电势差IR 取负；当进行方向由电源的正极到负极时，ε取正，当进行方向由电源的负极到正极时，ε取负。

b 、闭合电路欧姆定律 0=±∑+±∑IR ε即沿闭合电路绕一周，电势差的代数和为零。

这里的ε、IR 的正负规定与一段含源电路的欧姆定律中ε、IR 的正负规定相同，只是将进行方向改为绕行方向。

由稳恒电场的环路定理∮L 0·=d 可知，稳恒电场场强沿闭合电路的积分为零，沿闭合电路积分的方向称为绕行方向。

在选定绕行方向后，若绕行方向与电流方向相同时，电阻（包括电源内阻）上的电势差IR 取正，反之，取负；当绕行方向由电源的正极时，ε取正，反之，ε取负。

因此在运用闭合电路欧姆定律时，一是应在电路中首先标出电流方向，二是应标出回路绕行方向，然后根据沿闭合电路一周，电势差的代数和为零列方程，最后求解。

若计算结果电流强度I > 0时，表示电流的实际方向与标定的方向相同。

反之，当I<0，则表示电流的实际方向与算定方向相反。

闭合电路欧姆定律的微分形式：)(k +=γ，式中k 为非静电场强。

c. 电源的电动势非静电力和静电力共同作用才能产生稳恒电场，保证电流的稳恒。

非静电场强定义为单位正电荷所受的非静力。

q k k =电路中凡提供非静电力的装置称为电源，电源电动势定义为把单位正电荷从电源的负极经电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即⎰+-==d q A·k 0ε当整个闭合回路都有非静电力存在时，有=ε∮L l d E ·k 应该提出：电动势是定量反映电源内非静电力作功本领的物理量。

亦定量反映了电源内非静电力将其它形式的能量转变成电能的本领的物理量，它与外电路的性质以及接通与否无关。

电动势是标量，可正可负，它的正负表征非静力作正功或负功。

为电路计算方便，通常规定非静电力作正功的方向为其正方向。

即从负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向，亦电源内部电势升高的方向。

2）焦耳定律焦耳定律为 Q = I 2Rt焦耳定律的微分形式：w =γE 2功率：单位时间内所作的功称为功率，记为PR U U R I U U I P b a b a 22)()(-==-=3）基尔霍夫定律a 、基尔霍夫第一定律（节点电流定律）汇于节点的各支路电流强度的代数和等于零。

即 0=±∑I 应该指出：a ）基尔霍夫第一定律的理论基础是电荷守恒定律，亦即电流的稳恒条件。

b ）电流强度I 正负的规定：流入节点的电流强度取I ，流出节点的电流强度取-I 。

各支路电流的方向可任意假设，当按上面的规定取了电流强度的正负后，若计算结果I >0时，表示电流的实际方向与假定的方向相同；若I < 0时，则表示电流的实际方向与假设的方向相反。

c) 若电路中有几个节点，只能根据基尔霍夫第一定律列出n －1个独立的电流方程。

b 、基尔霍夫第二定律（回路电压定律）沿任一闭合回路一周，电势差的代数和为零。

即 0=±∑+±∑IR εa) 基尔霍第二定律可由稳恒电场的环路定理∮L 0`·=d 和闭合电路欧姆定律的微分形式)(k +=γ导出。

b ）在规定了各支路电流方向和各回路的绕行方向后，ε、IR 的正负符号的规定与闭合电路欧姆定律中对ε、IR 的正负符号的规定相同，所需注意的是电阻上的电势差是通过该电阻上的电流强度与其电阻之乘积。

c) 运用基尔霍夫第二定律列回路电压方程时，应注意所选取回路的独立性。

具体选取规则是：新选定的回路中至少有一条支路是在已选过的回路中所未曾出现过的，这样所得的新的回路电压方程与已所列的回路电压方程才是独立的。

基尔霍夫定律原则上可以解决稳恒电路的问题。

三、解题方法1、求解稳恒电路问题的一般步骤1）首先将电路进行变形和化简解稳恒电路的基本问题是求电路中的电流强度、电压、电阻、电功率等问题。

原则上可用欧姆定律，焦耳定律，基尔霍夫定律求解任何稳恒电路的问题。

但为了使计算过程简单容易，常根据问题的性质将电路进行变形和化简。

所谓变形和化简是指将复杂的电路，改画成各元件间串、并联关系比较清楚的较为简单的等效电路，然后利用有关定律求解。

这种方法也称为电路的等效变换。

欲正确地将原电路进行变形和化简，关键在于正确识别和分析电路，分清各电阻间的串并联关系。

所谓串并联都是针对电源或电路的某两个端点来说的。

所以在进行变换时，必须注意是对哪两个端点进行的电路变换，因为不同的两个端点之间的等效电阻是不同的，这是由于从不同的两个端点来看各电阻之间的联接方式是不同的，所以在电路的变换时宜应尤其注意。

具体说来，可用下列方法将原电路进行变形和化简。

a. 利用串、并联电路特点将电路进行变形和化简。

把同一支路上的串联电阻或两条并联支路中的电阻先分别用一等效电阻来代替，这样化简的电路又可能出现新的串联或并联的电阻，再分别用等效电阻去代替，如此不断化简，直至不能用此方法化简为止。

b. 利用电路中电势相等的概念进行变形和化简。

当导线无电阻时，则根据需要可把导线拉长和缩短，这导线的两个端点可缩成一点，被导线短路的电阻可去掉。

在不改变电路各元件联接关系的前提下，亦可将元件挪动到需要的位置，使电路中各元件的串、并联关系看起来比较清楚。

在给定的电路中，根据电路所具有的对称性，或利用电桥平衡的条件，可确定某支路中两端的电势相等，则可把这两点拉拢看成一点。

如果某段电路两端电势相等，只有而且必须只有无电流流过时，亦可将此段电路去掉。

关于化简电路的方法还有多种，如星形——三角形（Y—△）等效变换，代维宁定理等等，限教材内容，在此不予阐述。

2）根据化简完毕后的电路，判定是用欧姆定律、或基尔霍夫定律求解。

然后，由定律列出方程式。

一般说来，对于化简后的单一回路应用欧姆定律求解，求解时，应先在回路标出电流强度的方向和回路绕行方向，然后，用电势降落的概念，沿闭合电路一周，电势差的代数和为零列方程。

化简后，两个或两个以上的回路用其基尔霍夫定律求解，或根据问题的性质，兼而有之。

3）解方程（或方程组），代入数据，计算数值2、用基尔霍夫定律求解复杂电路的方法基尔霍定律是分析稳恒电路的基础，是求解复杂电路的基本方法，原则上它可以求解任何复杂电路，现就利用基尔霍定律求解复杂电路的支路电流法介绍如下：所谓支路电流法，是指先假设各支路的电流，然后利用基尔霍夫定律列出方程式，从而计算复杂电路的方法。

其解题步骤如下： 1）标方向在电路图中，必须标出各支路电流的方向，以及所选取的各回路的绕行方向。

2）列节点电流方程用基尔霍夫第一定律列出节点电流方程。

注意，电路中有几个节点，则只能列出n -1个独立的方程，另外一个方程可由这n -1个方程组合而得。

不足的方程可由基尔霍第二定律列出。

3）列回路电压方程用基尔霍夫第二定律列出回路电压方程。

注意：为保证所列的回路电压方程相互独立，回路的选择必须要彼此独立，即新选的回路至少有一条支路是已选取的回路中未曾选用过的。

由基尔霍夫第一、第二定律列出的方程个数应与未知数的个数相等。

4）解方程组各支路电流的实际方向不可能在计算以前确定，所以电流正方向的选取是任意的。

如果计算结果I > 0，表示电流实际的方向与选取的方向相同；反之，I < 0，则表示电流实际方向与选取的方向相反。

四、解题示例例1，电缆的芯线是半径为r 1的铜线，在铜线外面包一层同轴绝缘层，绝缘层的外半径为r 2，电导率为γ，在绝缘层的外面又用铅层保护起来。