阶段性测试题五(选修1－1综合能力检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0，则¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 [答案] C[解析] p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题即可，不一定p ，q 都是假命题． 2．设p ：大于90°的角叫钝角，q ：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p 与q 的复合命题的真假是( )A ．“p ∨q ”假B ．“p ∧q ”真C ．“¬q ”真D ．“p ∨q ”真[答案] D[解析] p 假，q 真，故“p ∨q ”真．3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且抛物线y ＝x 2＋x －1的顶点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A.58 B ．－58C.74D ．－74[答案] A[解析] 抛物线y ＝x 2＋x －1的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－54＝(b ，c )，∴⎩⎨⎧b ＝－12，c ＝－54.∵a ，b ，c ，d 成等比数列，则有ad ＝bc ＝58，故选A.4．平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足|P A |＋|PB |＝6，则|P A |的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[1,6]C ．[2,6]D ．[2,4][答案] D[解析] 因为|PA |＋|PB |＝6>2，所以P 点的轨迹为椭圆，所以3－1≤PA ≤3＋1，即|PA |∈[2,4]．5．已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)<f (1) C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，因此f (x )＝x 2－4x ，f (－1)＝5，f (1)＝－3，即f (－1)>f (1)．6．若曲线C y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于( )A ．－2B ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 曲线C 上任意点处切线的倾斜角都是锐角，所以y ′>0恒成立，即3x 2－4ax ＋2a >0恒成立，Δ＝16a 2－24a <0，解得0<a <32，因为a 为整数，所以a ＝1.7．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5D ．2[答案] C[解析] x 2－λy 2＝1的渐近线方程为y ＝±1λx ，所以1λ＝2，所以λ＝14，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋4＝ 5.8．命题“∃x 0∈R ，12x 0－3>1”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，12x 0－3≤1B ．∀x 0∈R ，12x 0－3>1 C ．∀x 0∈R ，12x 0－3≤1 D ．∃x 0∈R ，120－3<1 [答案] C[解析] 特称命题的否定为全称命题，故选C.9．由线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22[答案] D[解析]因为y′＝e x，所以k＝e2，故切线方程为y－e2＝e2(x－2)，因此，切线与两标轴围成的三角形的面积为S＝12×e2×1＝e22D.10．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3C．4 D．5[答案] D[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.53B.43C．2 D.7 3[答案] A[解析]e＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|≤|PF1|＋|PF2||PF1|－|PF2|5|PF2|3|PF2|＝53.12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析]二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．[答案]a＋b＋1<0[解析]实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a＋b＋1<0.14．△ABC 的三边，a ，b ，c ，已知a >c >b ，且成等差数列，若A (－1,0)，B (1,0)，则动点C 的轨迹方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1(y ≠0，且x <0)[解析] 由题意得a ＋b ＝2c ＝4，根据椭圆的定义可知，其轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，因为a >c >b ，所以是椭圆的一部分．15．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，则－1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴a ＝－3，b ＝－9.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为______________(写出所有真命题的序号)． [答案] ③④[解析] ①中当k ＝|AB |时，点P 的轨迹是一条射线．②中点P 的轨迹是以AC 中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知p 5x 2－4x －1>0，q 1x 2＋4x －5>0，试判断¬p 是¬q 的什么条件？[解析] 由5x 2－4x －1>0，得x <－15或x >1，即p x <－15或x >1；由1x 2＋4x －5>0，得x <－5或x >1，即q x <－5或x >1，容易判断p 是q 的必要不充分条件，从而¬p 是¬q 的充分不必要条件．18．(本题满分12分)已知x ∈R ，求证：cos x ≥1－12x 2.[解析] 令F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x ， 当x ≥0时F ′(x )≥0，∴F (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又F (0)＝0，即x ∈[0，＋∞)时，恒有F (x )≥0， 即cos x ≥1－x22.又F (－x )＝cos(－x )－1＋(－x )22＝cos x －1＋x 22＝F (x )，∴F (x )是R 上的偶函数， ∴当x <0时，恒有F (x )≥0， 即cos x ≥1－x 22，综上所述，对一切x ∈R ，都有cos x ≥1－x22.19．(本题满分12分)设f (x )＝e x(ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． 求a 的值，并讨论f (x )的单调性． [解析] f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)， 由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0⇒a ＝－1. 于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2) ＝－e x (x ＋2)(x －1)，故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减， 在(－2,1)上单调递增．20．(本题满分12分)(2009·全国Ⅱ文，21)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解析] 本题考查函数、导数、不等式等基础知识，以及利用导数求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )． 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值． f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ，f (0)＝24a .由假设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f (2a )>0，f (0)>0，即⎩⎨⎧a >1，－43(a ＋3)(a －6)>0，24a >0.解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6)．21．(本题满分12分)一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2＝y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP →·OQ →＝－3，PQ →＝4RQ →，求直线与双曲线的方程．[解析] 由e ＝3，所以c 2＝3a 2，所以b 2＝2a 2，所以双曲线方程为2x 2－y 2＝2a 2，设直线l y ＝x ＋m ，R (0，m )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2，⇒x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.①又因为OP →·OQ →＝－3，PQ →＝4RQ →，则有x 1x 2＋y 1y 2＝－3，所以2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＋3＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 1＝4x 2，y 2－y 1＝4(y 2－m )，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2，3y 2＋y 1＝4m .③ 由①，③得x 2＝－m ，x 1＝3m ，m 2＝a 2，代入②得m 2＝1，a 2＝1，所以m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2，所以所求的直线与双曲线方程分别是y ＝x ±1，x 2－y 22＝1.22．(本题满分14分)已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )的图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围．(2)若f (x )在x ＝1时取得极值，且x ∈(－1,2)，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，由已知f ′(x )＝0有实数解，即3x 2－x ＋b ＝0有实数解， ∴Δ＝1－12b ≥0.故b ≤112.(2)由题意x ＝1是方程3x 2－x ＋b ＝0的一个根，设另一根为x 0，则⎩⎨⎧x 0＋1＝13，x 0×1＝b 3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－x －2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝－23时，f (x )有极大值2227＋c .又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，即当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值为f (2)＝2＋c . ∵对x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立， ∴c 2>2＋c ，c <－1或c >2.故c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。