第三讲第讲不确定性下的选择教材第⏹5章⏹不确定性和风险⏹风险偏好⏹存在风险时的需求不确定性y和风险Uncertainty Risk什么是不确定性？在许多情况下我们不能确⏹什么是不确定性？在许多情况下，我们不能确定哪个结果会实现。

也就是说，有若干结果发生的概率都是正的。

我们用不确定性来描述这生的概率都是正的我们用不确定性来描述这类情况⏹有时我们不知道每种结果发生的概率(可能性)，但有时知道每种结果发生的客观概率。

后一种类型的不确定性通常称为风险在本章中我们始终只分析风险在术语中通⏹在本章中，我们始终只分析风险，在术语中通常不区分风险和不确定性如何描风险如何描述风险？⏹为了描述某个事件的风险，我们需要知道：❑该事件所有可能的结果❑每个结果发生的客观概率，或概率密度⏹为了简化起见，我们把每个具有风险的事件都看作一个彩票(lottery)，每个可能的结果都用每个可能的结果都用收入(货币) 来表示即使是没有不确定性的事件也可以被认为是一张退❑化的彩票期望值和方差⏹给定一个彩票，可能的结果是，相应给定个彩票可能的结果是相应的概率分别是，或概率密度expected value ⏹期望值(expected value ):⏹方差(variance ):标准差(standard deviation ): 方差的平方根⏹直观上，期望值表示彩票的平均回报，而方差刻画彩票的风险(是对风险的客观度量)一些性质性质E X+bY E⏹(aX+bY)= aE(X)+bE(Y)⏹D(aX+b)= a2D(X)⏹D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)cov X Y)❑(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EX·EY❑如果X和Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)存在风险时的决策⏹如果一个人面临两个选择：彩票A B 如果个人面临两个选择：彩票和彩票，他会选择哪一个？⏹这取决于他在有风险情况下的偏好❑期望效用(Expected utility )❑风险态度(Risk attitude )彩票空间和偏好彩票间和偏好为简便起见，如果一个彩票⏹为简便起见，如果个彩票A只有两种结果，我们用表示。

满足以下假设L1❑:❑L2:3❑L3:⏹满足L1-L3 的所有彩票集合组成了彩票空间L，消费者在L上有一个偏好(仍然满足完备性、反身性、传递性等公理，可以用效用函数来身性传性等公)用效用函数来表示这个偏好VNM 期望效用理论期望效用论⏹假设偏好满足满足以下性质(公理)：❑连续性：如果,, 则一定存在概率使得❑独立性：如果，且，则⏹(期望效用存在性) 定理：如果偏好满足以上公理，则存在一个定义在L上的效用函数u满足理则存在个定义在期望效用性质：期望效用函数的唯一性期望效用函数的唯性容易验证如果函数满足期望效用性质则⏹容易验证，如果函数u 满足期望效用性质，则经过正仿射变换得到的函数v (·) = au (·) + c , a>0也满足期望效用性质⏹期望效用唯一性) 定理：期望效用函数是唯一(期望效用唯性)定期望效用函数是唯的，最多相差一个正仿射变换。

也就是说，进行任何其他形式的变换会破坏期望效❑用性质，这说明期望效用函数具有基数性质Risk attitudes风险态度期望效用⏹E(u)和期望值的效用u[E(X)]之间的差别反映了一个人主观上对风险的态度❑风险规避Risk averse❑风险爱好Risk loving g❑风险中立Risk neutral风险规避Risk averse如果某个人来说，得⏹到任意有风险的彩票都不如得到等于该彩票的期望值的确定性的收入，那么他是风险规避的u[E(X)] >E(u))]>⏹这等价于说这个人的效用函数u(X)是凹的(Concave)Risk loving 风险爱好g风险爱好⏹风险爱好：u[E(X)] <E(u)⏹效用函数是凸的(Convex)❑例: 赌徒风险中立Risk neutral 风险中风险中立⏹(中性)u[E(X)] =E(u)⏹线性效用函数❑有时企业被假设为风险中立的风险规避系数如何定量的刻画个人的风险态度？⏹如何定量的刻画一个人的风险态度？⏹如果u(X) 二阶可微，则称为绝对风险规避系数风险规避❑，风险中立，风险爱好❑对u(X) 进行正仿射变换后，该系数保持不变❑例：有着不变的风险规避系数⏹此外，称为相对风险规避系数风险溢价⏹另一种定量描述风险态度的方法❑风险溢价(Riskpremium)：他最多愿意付出多少钱来避免某个彩票的风险❑给定一个彩票的期望值，风险溢价随着彩票的方差的增加而增加风险溢价和确定性等值正式的给定个彩票假设个风险规避⏹正式的，给定一个彩票X，假设一个风险规避的消费者最多愿意为了避免风险(即确定性的得到E(X)) 付出P，则则⏹这里可以看做是一个确定性的收入，X该收入下的效用水平和得到彩票X 时的效用相等，称为确定性等值(certainty equivalent)。

换句话说在存在风险时彩票给消费者带来的句话说，在存在风险时，彩票给消费者带来的真实收入是CE，要从E(X) 中扣除风险溢价PInsurance保险⏹多数人在多数情况下是风险规避的，通常愿意付出一定成本来减少风险，例如购买保险例如假设有两种可能结果出现火灾时收⏹例如，假设X 有两种可能结果，出现火灾时收入x 1，没有火灾时x 2>x 1，个人可以购买保险保费的上限使得消费者对是否购买保险无差异❑❑保费的下限使得保险公司期望利润等于零，这时称(f i )保费是公平的(fair)❑保险公司可以看做是风险中立的，大数定律(The law of large numbers) 保证了保险公司实际发生亏损的可能性不大例⏹某个风险规避的消费者的初始财富是w 元，有元假设每支付元保费a 的概率会损失D 元。

假设每支付q 元保费，在损失发生时可以获赔1 元。

⏹如果保费是公平的，⏹消费者期望效用最大化：f.o.c.Diversification分散化除了保险外分散化也是减少风险的种办法⏹除了保险外，分散化也是减少风险的一种办法❑“不要把所有的鸡蛋放到一个篮子里”❑例: 雨伞和太阳镜⏹)=)=2假设有两个彩票X 和Y ，满足D (X ) D (Y ) σ，而Z = bX +(1-b )Y 是一个彩票组合，其中b ∈(0,1)，则除非cov (X ,Y ) = σ2 (即X 和Y 完全正相关)，否则)<就有D (Z ) < σ2风险态度和无差异曲线⏹描述风险态度的另一种方法是用期望值-标准差平面中的无差异曲线：❑无差异曲线某点切线的斜率描述了风险与回报之间的替代率，即为了让一个人愿意额外承担1 单位风险，平均需要补偿给他多少收入❑越厌恶风险，无差异曲线越陡峭风险资产和无风险资产投资者选择问题(I’h i bl)⏹(Investor’s choice problem):一个特殊的消费者选择问题引入风险()⏹投资者可选择的消费束:资产Assets:provides a flow of income❑Assets: provides a flow of income❑无风险资产Riskless (risk-free) assetsRi k t❑风险资产Risky assets⏹资产回报Asset return:❑期望回报Expected return: R=E(r)投资者的最优选择⏹一个投资者在更小的个投资者在更小风险和更大的回报之间进行权衡，以最大权化期望效用一阶条件⏹阶条件❑直观上，更高的风险厌恶程度会导致更小比例的风险资产风险资产的市场均衡⏹在均衡时，某个资产组合i 在均衡时某个资产合的回报率应该是无风险资产的回报率加上风险溢价⏹资产市场上的风险有两种：❑相对于市场的风险❑市场的系统风险⏹资产i 的风险溢价：⏹CAPM ：对任意的资产组合i ，都成立VNM 期望效用理论的批评对期望效用论的批评⏹期望效用理论特别是❑Allais 悖论: 三种可能的结(独立性公理) 可能过分简化了人的偏好，我果(250, 50, 0)比较两个彩票:简偏我们举下面几个例子❑Machina L1=(0, 1, 0),L2=(0.1, 0.89, 0.01),悖论多数人会选择L2，而比较:L3=(0, 0.11, 0.89), 独立性公理认为u (A ) > u (B ), 但现实中有时人们L4=(0.1, 0, 0.9),多数人会选择L4.宁可选择B这两个选择违反了期望效用性质行为经济学Behavioral economics 行为济学⏹研究消费者实际上如何进行选择❑承认有限理性❑借鉴心理学的部分理论❑运用实验等方法⏹但以下理由仍然支持经济学家在分析中继续应用理性假设❑理性程度和决策的重要性相关❑演化的作用在长期中可能会逐渐淘汰非理性。