U3虽高，但超出预算
U1与预算线相交，也不是最优
预算线与无差异曲线相切
消费者最优时
这和基数效用论推出的等边际原则是一致的
dx2 m u1 MRS12 dx1 m u2
m u1 p1 m u2 p2
m u1 m u2 p1 p2
消费者最优选择(特殊情形)
最优点上,无差异曲线不会穿过预算线,这一点 总是成立(相交时) 如果无差异曲线在最优选择点处是一个折点, 则没有切线 角点解情形,无差异曲线与预算线不相切 非凸时，无差异曲线与预算线的切点，不一 定是最优消费束
柯布道格拉斯偏好的一个扩展
a b U( x1 , x 2 ) x1 x 2
am . 1 可否变换成V ( x1 , x2 ) bx (a )p 1 1x2 x* 1
x* 1 am . ( a b )p 1
* x2
bm . ( a b )p 2
是各种消费品购买价 值所占的比重
正常物品(normal)
xi 0， 则xi是正常物品 m
X1是低档物品(inferior good)
xi 0， 则xi是低档物品 m
收入提供曲线(Income offer curve)
Fixed p1 and p2. x2
Increasing income
收入提供曲线指的是价格不变,收入改变时, 消费者均衡点的连线,又称收入消费曲线 两种正常物品,收入 提供曲线斜率为正
p1 怎么得到需求曲线？ Fixed p2 and y. x2
p1’’’
p1’’
p1’
x1*(p1’’’)
x1*(p1’)
x 1*
x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’’)
x1*(p1’)
x1
普通物品(Ordinary Goods)
价格下降,需求量增加的商品
x2
价格提供曲线
ax* p1 2 * p2 bx1

bp1 * * x2 x1 . ap 2
* * p1 x1 x1
am * p2x 2 . m. ( a b )p 1
x* 1
am . ( a b )p 1
x* 2
bm . ( a b )p 2
练习
消费者的效用函数为U=X4Y3，则他在Y商 品上的支出占总支出的比例是多少？对Y的 需求与X的价格有什么关系？（北大2000研）
消费者最优点处，没有切线
相切并非消费者最优的 必要条件
角点解情形
MRS不等于P1/P2
非相切
非凸偏好
相切满足消费者最 优，偏好必须是凸 的
凹偏好消费者最优点是角点解
MRS>P1/P2
完全替代时均衡点
x2
y * x2 p2
MRS = -1
Slope = -p1/p2 with p1 > p2. x1
* * xp 2 1 x1
m
bm . (a b )p 2
* 2
b

p2 x m
b 1 b
比较静态分析
x* 1
** x 2 x
1
am . ( a b )p 1
m
bm . ( a b )p 2 0
( b) p1
* x1 m 0 2 p1 ( b) p1
x* 10
x2 MRS = -1
Slope = -p1/p2 with p1 < p2.
x* 20
y * x1 p1
x1
完全替代下的选择
* * ( x1 , x 2 ) y ,0 p1
if p1 < p2
* * ( x1 , x 2 ) 0,
y p2
am 消费者的最优选择得出商品的需求 . ( a b )p 1 am * bm x1 . * x2 . ( a b )p 1 ( a b )p 2 bm * . 2 x 消费者的最优选择取决于消费者的收入和商品 ( a b )p 2 x* 1
的价格 需求函数:消费者最优时选择的消费数量。 X1=x1(p1,p2,m),x2=x2(p1,p2,m)
Min E(P,U) S.t. U(x1,x1)=u0
预算线与无差异曲线相切
等边际原则
希克斯需求
价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出 最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。
x ( P,U )
举例：
h i
min E( P,U ) p1 x1 p2 x2
x1x2 u0
s.t. U ( x1 , x2 )
…quantity of x demanded rises.
效用比较
x
U1
U2
x1
x2
x3
Quantity of x
x’
x’’
x’’’
Quantity of x
希克斯Demand Curves
Quantity of y
p ' slope x py
xh(P,U)
Holding utility constant, as price falls...
maxU ( x1x2 ) x1x2
I I I V ( P, I ) U ( x1 x2 ) x1 x2 2 p1 2 p2 2 1 p1 p2
这就是间接效用函数
消费者最优的两种思路
相同支出下，追求效用最大化。 相同效用下，追求支出最小化。 这是同一个问题的两种思路，其实质是一样的，经 济学称为对偶性。
支出最小化
x1
恩格尔曲线(Engel curve)
收入变动对需求变动的影响
m3 m2 m1
x 1’ x1’’ x1’’’
x1*
完全替代
x2 MRS = -1
请画出X1的恩格尔曲线
请画出X2的恩格尔曲线
Slope = -p1/p2 with p1 < p2.
x* 20
收入提供曲线
x1
m * x 1 p 1
求希克斯需求函数，支出函数
构建拉格朗日函数：
L p1x1 p2 x2 ( x1x2 u0 )
L 1 p1 x x1 x1 2
1 2 2 1 2
0 0
0
L 1 p2 x x x2 2
1 2 1
1 2 2
x2 p1 x1 p2
L u0 x x
* X1 X1 ( p1, , pn , I )
* X2 X1 ( p1, , pn , I )
s.t. px I
代入：U ( X , X ) U [ X 1 ( p1 , pn , I ), X 2 ( p1 , pn , I )] V ( p1 , pn , I )
xi 0 pi
Downward-sloping p1 demand curve Good 1 is ordinary
x1
x 1*
吉芬商品（Giffen Goods
xi 0 ） pi
upward-sloping demand curve p1
x1
完全替代情形的需求曲线
Fixed p2 and y. x2
p1’’ =p2
p1’’’
p1
m x p1
* 1
m p2
p1 price offer curve
p1’

m 0 x p2
* 1
x 1*
x1
完全互补
Fixed p2 and y. x2
p1
p1’’’
m/p2
p1’’
p1’
m x p1 p2
* 1
x 1*
x1
替代品和互补品
商品2的价格上升,商品1的需求增加,称商品1为 商品2的替代品 x1 0 p2 商品2的价格上升,商品1的需求下降,称商品1为 商品2的互补品
x1 0 p2
间接效用函数
U（x1,x2）是直接效用函数 把求解出的马歇尔需求函数代入直接效用函 数，就得到间接效用函数
U U ( X1, X 2 )
px
…quantity demanded rises.
px ' ' py
slope
px’ px’’
slope px ' ' ' py
px’’’ xc
U2 x’ x’’ x’’’ x’ x’’ x’’’
Quantity of x
Quantity of x
效用最大化和支出最小化是对偶问题
bm 画出 x * X1的恩格尔曲线 . ( a b )p 2
收入提供曲线
x1
拟线性偏好
哪位同学能画出Ｘ２的恩格尔 曲线？
x2
收入提供曲线
m
恩格尔曲线
x1
~ x1
x1
价格变化对消费者均衡的影响
价格提供曲线：当价格变化时，消费者均衡 点的连线，又称价格消费曲线
x2
价格提供曲线
讨论：价格提供曲线的形状 判断：柯布-道格拉斯效用函数的价格提供 曲线是一条水平线（上海财大，2008） 。
1 2 1
1 2 2
p1 x1 u0 ( ) p2

1 2
p2 x2 u0 ( ) p1

1 2
这就是希克斯需求函数xh(P,U) 代入支出函数：
E( P,U ) p1 x1 p2 x2
p1 u0 p1 ( ) p2
1 2
p2 u0 p2 ( ) p1