高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n 项和练习含解析新人教A 版必修5081938知识点一 等差数列前n 项和公式的简单应用1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 答案 B 解析 ∵d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，又a 2＝a 1＋d ＝7，∴a 1＝3．∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×4＝210．故选B ．2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B 解析 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 2＋a 9)＝120，∴a 2＋a 9＝24．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案 D 解析 ∵S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5．知识点二 “知三求二”问题4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 B解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100．∴n ＝10．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________． 答案 2n解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n ．知识点三 a n 与S n 的关系6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2 B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n 2D ．32n 2－n 2 答案 A解析 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－3n2＝－32n 2＋n2．故选A ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4．∴过P ，Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2．8．已知{a n }的前n 项之和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－(2n －1＋1)＝2n －1，又21－1＝1≠3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.易错点一 等差数列的特点考虑不周全9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．易错分析 本题容易产生如下错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2．a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．需注意：a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证． 解 a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2n ＋2n ≥2，显然a 2－a 1＝6－6＝0，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．易错点二 忽略对项数的讨论10．已知等差数列{a n }的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|a n |}的前n 项和T n ． 易错分析 对于特殊数列求和，往往要注意项数的影响，要对部分特殊项进行研究，否则计算易错．解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝－9，11a 1＋11×102d ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ． 由a n ＞0，得n ＜112，则从第6项开始数列各项均为负数，那么 ①当n ≤5时，数列{a n }的各项均为正数，T n ＝n a 1＋a n 2＝n 9＋11－2n 2＝n (10－n )；②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋2×(10×5－52)＝n 2－10n ＋50．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．又a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，∴2a n－a 2n ＝0．∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2．故选A ．2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤 答案 B解析 由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2， 则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B ．3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n n －12×2d ＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n n －12×2d ＝72，得nd ＝－18．又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3．4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n n ＋12＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14．故选C ．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15．∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＋a 5＝________． 答案 11解析 由S n ＝n 2＋1，得a 1＝12＋1＝2，a 5＝S 5－S 4＝(52＋1)－(42＋1)＝9．∴a 1＋a 5＝2＋9＝11．7．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________． 答案 35解析 ∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S n S 2n ＝n ＋14n ＋2， ∴S 1S 2＝a 1a 1＋a 1＋d ＝26＝13，∴3a 1＝2a 1＋d ，∴a 1＝d ，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3d 5d ＝35．8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10＝________． 答案 －15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3． ∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15． 三、解答题9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n ．解 设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n ． 10．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330．数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)设等差数列的公差为d ， 因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330， 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n ． (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2最小值为54，所以a ≤54．。