前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。
由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。
完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。
由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。
经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。
所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。
1.完全四点(线)形的定义及性质1.1 完全四点形的定义定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。
定义1′完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。
图1 图2定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。
称为完全四线形(完全四边形),记作完全四线形abcd。
定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。
1.2 完全四点(线)形的调和性质定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有(ss′, tt′) =－1。
图3证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1由定理[2]1.9，有（AB，CD）=(ab,cd)(ss′,tt′)=－1.推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。
证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，QZ）同理（ML，YZ）=（DC，QZ），（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（ML，YZ）=（BA，PZ）又∵（BA， PZ）=1 (,) AB PZ′∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1 ∴（AB，PZ）=－1∴（ML，YZ）=－1=1 (,) LM YZ∴（LM，YZ）=－1即（YZ，LM）=－1。
如图1中, (QR, YZ) =-1, (PQ, XE) =－1等。
推论2:在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是顶点,另一对点偶里,一个点是对边点,另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。
证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1。
如图1中, (AB, YP) =－1, (AD, ER) =－1等。
对偶地,可以得出完全四线形的调和性质。
定理2:设S、S′是完全四线形abcd的一对对顶点,它们的连线是对顶线x,若x 与其它二对顶点的交点是T、T′,则有(SS′, TT′) =－1。
图4证明：如图4，对于对顶线x，只要证(SS′, TT′) =－1，根据§2.1推论[3]2.5，只要证明（ab,pz）=－1,∵（ab,pz）=(y×a,y×b;y×p,y×z)=(cd,pz)而 (cd,qz）= (SS′, TT′) =(ba,pz)∴ (ab,pz)=(ba,pz)=1 (,) ab pz即2(,)ab pz=1但是（ab,pz）≠1,∴（ab,pz）=－1.同理可证其他两条对顶线上的四点调和共轭，证毕。
推论1:过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束,其中两直线是对顶线,另两条直线是此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。
如图2中, E (BA, CD) =－1等。
推论2:在完全四线形的每个顶点上,有一组调和线束,其中两条边是过此点的两边,在另一对线偶里,一条是对顶边,另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。
如图2中, F (BA, CD) =－1等。
利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题,以使得初几与高几的学习能够融会贯通,从中体会到高几对初几的指导作用。
2．交比、调和比的定义及性质在射影平面上，共线的四个点A、B、C、D的交比记为（AB，CD）= AC BDAD BC••（其中AC、BD、AD、BC均为有向线段）。
当（AB，CD）=－1时，称四点A、B、C、D 调和共轭，－1称为调和比。
交于一点O的四直线a、b、c、d，被一条不过O的直线l截于四点A、B、C、D，定义（ab,cd）=(AB，CD)。
相应地，当（ab,cd）=－1时，称四条直线a、b、c、d调和共轭。
交比、调和比有许多重要性质，下面就本文所用到的一些性质介绍如下：性质1：完全四点形每一对边点处有一调和线束，它是过该点的一组对边与对边三点形的两边。
性质2：一个角的两边与其内、外角平分线调和共轭。
T∞T图5证明：如图5，c,d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线，作直线l 与d 平行，则l ⊥c ，若l 交a ，b ，c 于A ，B ，T ，则△ABC 为等腰三角形，故AT=BT因此 （AB ，TT ∞）=－1于是 (ab,cd)=－1.性质3：(AB,CD ∞)=－1的充要条件是C 为AB 的中点。
P 1P 324图6证明：如图6，⑴充分性：3P 是1P ，2P 的中点，∴ ()123P P P =－1又4P 为无穷远点，根据定理1.4，有()124P P P =1∴ ()1234,P P P P =－1⑵必要性：∵ ()1234,P P P P =－1若4P 为无穷远点，则()124P P P =1于是 ()123P P P =－1∴3P 是线段1P 2P 的中点。
性质4：若（AB ，CD ）=（AB ，CD ′），则D 与D ′重合。
性质5：若调和线束中基线对互相垂直，则它们必为分线对所成角的内外平分线。
3. 完全四点形调和性的应用3.1 应用完全四点形的调和性解初等几何的问题利用完全四点形的调和性可以比较简捷地解决一些初等几何中的平分角度问题，共点共线问题、中点问题、线段相等问题、平行性问题及比例线段问题。
（1）证明角平分线问题例1 定理 若P(AB,CD)=－1,且PC ⊥PD,则PC,PD 是∠APB 的内、外角平分线.证：如图7，以PD,PC ,即PC:x=0; PD:y=0,设 PA:y=λx; PB:y=μx,∵ P(AB,CD) =－1, ∴ P(DC,AB) =－1,故 λμ=－1,μ=－λ.从而直线PA,PB 与PD 的夹角相等,∴PD 是∠APB 的外角平分线.再由PC ⊥PD,可知PC 是∠APB 的内角平分线.定理得证.例2 设X 为△ABC 的高线AD 上的任一点, BX 、CX 延长线交对边于Y 、Z,则DA 平分∠YDZ 。
图8证明:如图8,设DY 与CZ 交于O,则DCYX 为完全四点形,由完全四点形的调和性,有(CX, OZ) =－1以D 为射影中心向这四点投影得（DC 、DX, DO 、DZ ） =－1又∵DX⊥DC,则知DX, DC分别为∠ODZ的内、外角平分线,即DA平分∠YDZ。
当△ABC为钝角三角形时,仿上同理可证。
例3 两圆相交于A、B两点,过A引AB的垂线,交两圆于C、D,连BC、BD交两圆于E、F,证明AB平分∠EAF或其外角。
证明：设AF交CB于G,视ABGD为完全四点形,仿上例可同理证明本题结论。
由以上两例不难看出,利用完全四点(线)形的调和性解决某些初等几何平分角问题时,主要在于完成两个步骤,一是构造四边形,得四直线调和分割,二是设法建立交错二直线相互垂直关系,由此即可证明平分角结论。
（2）证明共线共点问题例4 设X、Y、Z是完全四点形ABCD的三个对边点, XZ分别交AC、BD于L、M,证明YZ、BL、CM共点。
ZMLX图9证明:如图9,在完全四点形ABCD中,据定理1的推论1知,边AC上的四个点A、C、Y、L是一组调和点,即(AC, YL) =－1。
又在完全四点形YBZL中,设LB与YZ交于N, MN交YL于C′,据定理1的推论1知,边YL上的四点Y、L、C′、A是一组调和点,即(YL, AC′) =－1。
由于 (YL, AC′) =－1,故 C≡C′,∴YZ、BL、CM共点于N。
例5 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点,且DB EC FA••=,则它们三点共线(梅尼劳斯定理的逆定理)。
1DC EA FBB 图10证明:如图10,∵DBDC ≠1,则FA FB ≠EAEC ,故 EF 必与BC 相交。
设EF 交BC 于D ′,连BE 、CF 交于H 点,连AH 交BC 于F ′,得到完全四点形AFHE,由定理1的推论有(D ′F ′, BC) =D B F CD C F B ''•''=－1 (1)又AF ′、BE 、CF 共点于H,由塞瓦定理有F B EC FA F C EA FB '••'=－1 (2)(1)×(2)得D B EC FAD C EA FB '••'=1,又 DB EC FADC EA FB ••=1,故有 D B D C ''=DBDC ,且D 、D ′在BC 上,从而 D ′C=DC,∴D 、D ′重合,即 F 、E 、D 共线。
例6 三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.证：设三角形ABC 的内心为P,AP,BP,CP 与对边交于A ′,B ′,C ′,且BC 与B ′C ′交于A 1,CA 与C ′A ′交于B 1,AB 与A ′B ′交于C 1,则(BC,A 1A ′) =－1,从而, A(BC,A 1A ′) =－1,又∵ AA ′是∠BAC 的内角平分线,∴ AA 1为∠BAC 的外角平分线.同理,BB 1,CC 1分别是∠CBA,∠BCA 的外角平分线.三点形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点连线共点P,由Desargues 定理可知,对应边交点A 1,B 1,C 1共线,此命题得证.由以上说明处理共点、共线的问题,最常用的方法一是把四边形视为四点形或四线形,二是用重合法进行证明。