专题七 选修系列(4)第一讲 极坐标与参数方程1．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1<1－t 21＋t 2≤1， 且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(－1<x ≤1)， l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)，可设C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)． C 上的点到l 的距离为 |2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117. 当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7， 故C 上的点到l 距离的最小值为7.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1，与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 1，l 2与C 2均没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.3．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2sin2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.明 考 情坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题．考点一 曲线的极坐标方程|析典例|【例】 (2019·贵州贵阳适应性考试)过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON .(1)求弦ON 的中点M 的轨迹E 的极坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 和E 上两点，且OP ⊥OQ ，证明：|OP |264＋|OQ |216是定值．[解] (1)设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ)，则ρ1＝2ρ.因为N (ρ1，θ)在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ，即2ρ＝8cos θ.故弦ON 的中点M 的轨迹E 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)证明：设点Q 的极坐标是(ρ2，θ)，则点P 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，θ±π2.因为ρ3＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ±π2＝∓8sin θ，ρ2＝4cos θ，所以|OP |264＋|OQ |216＝ρ2364＋ρ2216＝64sin 2θ64＋16cos 2θ16＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，即|OP |264＋|OQ |216是定值.| 规 律 方 法 |求解与极坐标有关的应用问题的基本方法(1)直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．(2)间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．|练题点|(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：(1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点．在Rt △OPQ 中，ρcos θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P 2，π3在曲线ρcos θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ )，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈考点二 参数方程|析典例|【例】 (2019·广东广州花都区二模)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标缩短到原来的32倍，得到曲线C 2，设P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．[解] (1)根据题意得直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1， 解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝1. (2)由题意得，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ， 所以点P 到直线l 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝64⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2， 故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，最小值为23－64. | 规 律 方 法 |参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．|练题点|(2019·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.考点三 参数方程、极坐标的综合应用|析典例|【例】 (2019·河北六校联考)在直角坐标系xOy 中，点P (0，－1)，曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＋ρcos 2θ＝8sin θ.(1)若α＝π4，求C 1与C 2公共点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于不同的两点A ，B ，M 是线段AB 的中点，当|PM |＝409时，求sin α的值．[解] (1)若α＝π4，则曲线C 1的普通方程为y ＝x －1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝4y ，由⎩⎨⎧ y ＝x －1，x 2＝4y ，解得⎩⎨⎧ y ＝1，x ＝2.所以C 1与C 2公共点的直角坐标为(2,1)．(2)将C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α代入x 2＝4y 得， (cos 2α)t 2－4(sin α)t ＋4＝0，由Δ＝16sin 2α－16cos 2α>0得，sin α>22.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，由|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝2sin αcos 2α＝409，得20sin 2α＋9sin α－20＝0，解得sin α＝45. | 规 律 方 法 |转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用在对坐标系与参数方程的考查中，灵活地利用转化与化归思想可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解，充分体现了转化与化归的数学思想．|练题点|(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ.所以x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3，5)，在圆C 外．故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.。