专题10 大题训练小卷031.（本小题满分12分）（2020四川省资阳市高三第一诊）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知πsin sin()3b A a B =+．（1）求角B 的大小；（2）若4b =，求a c +的最大值．【解析】（1）由πsin sin()3b A a B =+，根据正弦定理，有πsin sin sin sin()3B A A B =+，即有π1sin sin()sin 32B B B B =+=，则有tan B ，又0πB <<，所以，π3B =．（2）由（1）π3B =，根据余弦定理，得22162cos 3a c ac π=+-，即216()3a c ac =+-， 所以2222116()3()3()()24a c a c ac a c a c +=+-+-⨯=+≥， 所以，8a c +≤，当且仅当4a c ==时，取＝．故a c +的最大值为8．2.（本小题满分12分）（2020吉林省榆树市第一高级中学期末）我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列与期望. 【解析】（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有1A , 空气湿度指标为1的有2358910,,,,,A A A A A A ,空气湿度指标为2的有467,,A A A ，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数21045n C ==,这两地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数226318m C C =+=,所以这两地的空气温度的指标z 相同的概率182455m p n ===.（2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:编号1A 2A3A4A5A6A7A8A9A10A综合指标 1446245353其中长势等级是一级(4)ω≥有234679,,,,,A A A A A A ,共6个,长势等级不是一级(4)ω<的有15810,,,A A A A ,共4个,随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,113211641(1)4C C P X C C ===, 1111312211647(2)24C C C C P X C C +===, 11111131122111647(3)24C C C C C C P X C C ++===, 1111211111641(4)8C C C C P X C C +===,111111641(5)24C C P X C C ===, （注：每一个正确得1分）所以X 的分布列为所以=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=241581424732472411)(X E 617. 3.（本小题满分12分）（2019广东郴州市模拟）如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//23CF AE AB CF ==，，.（1）求证：BD ⊥平面ACFE ；（2）当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45o 时，求AE 的长度. 【解析】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形， BD AC ∴⊥.AE ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， BD AE ∴⊥，又AC ⊂平面ACFE ，AE ⊂平面ACFE ，AC AE A =I ，BD ∴⊥平面ACFE .（2）以O 为原点，以,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则()()()3,0,0,3,0,1,0,3B D F --.设AE a =，则()1,0,E a ， ()()()1,0,3,0,23,0,3,OF DB EB a ∴=-==--u u u r u u u r u u u r，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则0,0,n DB n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即23030x az ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩令1z =，得(),0,1n a =-r ，()cos ,n OF n OF n OF ⋅∴==r u u u rr u u u r r u u u r Q 直线FO 与平面BED 所成角的大小为45︒，=， 解得2a =或12a =-（舍），2AE ∴=.4.（本小题满分12分）（2020甘肃省白银市会宁县第一中学高三上学期12月月考）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>倍，且经过点).（1）求C 的标准方程；（2）C 的右顶点为A ，过C 右焦点的直线l 与C 交于不同的两点M ，N ，求AMN ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意22,211,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆的标准方程为22142x y +=． （2）点(2,0)A，右焦点)F，由题意知直线l 的斜率不为0，故设l的方程为x my =+()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，整理得22(2)20m y ++-=， ∴216(1)0m ∆=+>，12y y +=，12222y y m =-+， ()()()21212122222222)224281m y y y y y y m m m ⎛⎫∴--=+ ⎪ ⎪+=+=++⎝+⎭16（，12y y ∴-=，(12122AMNS y y ∆∴=⨯⨯-(2222m =-+((12221=--…，当且仅当0m =时等号成立，此时l：x =，所以AMN V 面积的最大值为25.（本小题满分12分）（2020四川省三台县芦溪中学高三上学期“二诊”）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 【解析】函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，因为()(1)1x x f x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．所以当1x a >-时，()0f x '>， ()f x 在(1,)a -+∞上是增函数； 当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数． 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数． （2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x xxe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解． 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--． 设函数()2,()10x xh x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增． 又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点． 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈． 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-， 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意；②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．6.（本小题满分10分）（2020河北省保定七校高三上学期第三次联考）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．【解析】（1）222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos()4πρθ+=，即cos sin 6ρθρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==，其中3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤．7.（本小题满分10分）（2020重庆市西南大学附属中学校高三第四次月考）【选修4—5：不等式选讲】（10分）已知函数()13f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为t ，实数a b ，满足00a b >>，，且a b t +=． 求证：228113a b a b +≥++．【解析】（1）()2f x x ≤+，即132x x x ++-≤+. 则不等式等价于{2223 x x x -≤+≥或{4213x x ≤+-<<或{2221 x x x -≤+≤-可解得34x ≤≤或23x ≤<或x 无解. 所以原不等式的解集为[2,4].（2）因为()13(1)(3)4f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当(1)(3)0x x +-≤取等号， 所以函数()f x 的最小值为4t =即4a b +=.由柯西不等式：222[(1)(1)]()()11a b a b a b a b ++++≥+++，所以226()1611a b a b +≥++，即228113a b a b +≥++，当且仅当2222(1)(1)=a b a b ++， 即=a b 时取等号.又4a b +=，所以228113a b a b +≥++当且仅当2a b ==时等号成立.。