( , )2
可略去
等项,使几何方程成为线性方程。
弹性力学基本假定，确定了弹性力 学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
第二节 有限元方法概述
分析思路是： 将整个结构看作是由有限个力学小 单元相互连接而形成的集合体，每 个单元的力学特性组合在一起便可 提供整体结构的力学特性。
离散化的组合体与真实弹性体的区别 在于：组合体中单元与单元之间的联 接除了结点之外再无任何关联。但要 满足变形协调条件，单元之间只能通 过结点来传递内力。通过结点来传递 的内力称为结点力，作用在结点上的 荷载称为结点荷载。当连续体受到外 力作用发生变形时，组成它的各个单 元也将发生变形，因而各个结点要产 生不同程度的位移，这种位移称为结 点位移。
面力是指分布在物体表面的力，如
流体的压力和接触力 。
z
fz F
S
fy
fx P
y
x
三、应力分量 内力的平均集度即为平均应力。
z
p在法向和切向的分量，
F
p
A
P
也就是正应力和切应力，
y
如图所示。
x
应力分量如图所示。 应力分量可用矩阵表示为
四、应变分量
应变是指物体在受力后发生变形的 相对量，总的可以归结为长度的改 变和角度的改变。
5、小变形假定 假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸，
例：梁的挠度v＜＜梁高h。
b. ε,
1.
例：梁的ε 103 1
＜＜1弧度。
小变形假定的应用：
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡
条件时，可以用变形前的尺寸代替变形
后的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由
于(, ) (, )2 (, )3 ,
注意：平面应力问题z =0，但 ,这
与平面应变问题相反。
如：弧形闸门闸墩、深梁
弧形闸门闸墩
深梁
fy fy
平面应力
例题1：试分析AB薄层中的应力状态。
因表面无任何面力，
即 ： fx 0,fy 0
B
故表面上，有：
Байду номын сангаас
σz, zx, zy 0
A
在近表面很薄一层内：
σz, zx, zy 0.
故接近平面应力问题。
2、几何关系
研究弹性体内任意一点的位移，除 了刚体位移外，还有弹性体因变形 而引起的位移(变形位移) 。研究弹 性体的应力应变关系、微元间的变 形协调方程就可以得出弹性体的几 何微分方程或变形协调方程，研究 边界位移和外加约束的协调关系就 可以建立位移边界条件。
3、物理关系
二、基本假设
1、连续性假定 假定物体是连续的。因此，各物理 量可用连续函数表示。
二、平面问题基本方程
1、几何方程：表示任一点的微分 线段上形变与位移之间的关系。
定义
通过点P(x,y)作两正坐标向的微
分线段PAdx, PBdy,
变形前位置：P , A, B ,
变形后位置：P , A , B 位置如图。
－－各点的
应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。
PA 线应变 PB 线应变
所以平面问题的几何方程为：
变和位移8个未知函数，且均为
f x,y
uv x、 y、 xy、 x、 y、 xy、 、
第二节 弹性力学平面问题 的直角坐标解答
一、两类问题
1、平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿 长度发生变化，在柱面上受有平行于横截 面且不沿长度变化的面力或约束，而且体 力也平行于横截面且不沿长度变化，如： 水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等 。如图所示。
x
x u,
y
y v,
xy
v x
yu.
对几何方程的说明：
⑴ 适用于区域内任何点，因为A （x,y）； ⑵ 应用小变形假定，略去了高阶 小量----线性的几何方程；
⑶ 适用条件：a、连续性；b、小变形。
说明
⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。 ⑸ 形变和位移之间的关系：
五、位移
位移是指物体内任一点位置的移 动。物体内一点可用沿x、y、z三 个方向的位移分量u、v、w表示
。
弹性力学空间问题共有应力、应 变和位移15个未知函数，且均为
f x,y,z
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
uvw x、 y、 z、 xy、 yz、 zx、 、 、
弹性力学平面问题共有应力、应
弹性力学基本理论
第一章 绪 论
第一节 弹性力学方法概述
一、研究内容
研究弹性体在受到外力作用、边界约 束或是由于温度变化等原因而产生的 应力、应变和位移。主要通过以下几 个方面进行研究：
1、静力平衡关系
弹性体内部的平衡是弹性力学 研究的主要的平衡关系。为此我们 假想弹性体是由内部无限个无限小 的微六面体和边界上无限个微四面 体所组成的集合体。在变形完成之 后把每一个微元看作是刚体并研究 它们的平衡即可建立弹性力学的平 衡微分方程式
y x
特点：
a) z向尺寸远大于x，y向尺寸，且 与z轴垂直的各个横截面尺寸都相 同。
b) 由于受有平行于横截面(x、y平 面)且不沿z向变化的外载荷(包括 体力x、y，但z=0)，约束条件沿z 向也不变。
3、由于截面形状、体力、面力及 约束沿z向均不变，故应力、应变和 位移均为x、y的函数。 所以平面应变问题： 应变中只有平面应变分量 εx,εy,γxy 存 在，且仅为 f x , y 。
2、完全弹性假定 a.完全弹性—外力取消，变形恢复，
无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。 即应力与应变关系可用胡克定律表 示（物理线性）。
3、均匀性假定
假定物体由同种材料组成,因此， E、 μ等与位置 (x, y, z)无关。
4、各向同性假定 假定物体各向同性。E、μ与方向无关
。
由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定
例如： 挡土墙
o x
隧道
o x
y
y
2、平面应力问题
设有很薄的等厚薄板，只在板边 上受有平行于板面且不沿厚度变 化的面力或约束，同时体力也平
行于板面且不沿厚度变化，如 图所示。
特点：
a) 长、宽尺寸远大于厚度的等厚薄板 ；
b) 由于沿板面受有平行板面的面力、 体力、约束，且，不沿厚度变化，在平板 的前后表面上无外力作用，因此 σx,σy,xy 为x、y的函数。
第一节 弹性力学的基本概念 第二节 弹性力学平面问题 的直角坐标解答 第三节 用直角坐标法求解平面问题实例 第四节 弹性力学平面问题的极坐标解法 第五节 用极坐标解法求解平面问题实例
第一节 弹性力学的基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力，如常见的
重力、惯性力
z
fz F
V
fy
fx P
y
x
二、面力