则
1, x [2,8], max{ A ( x), B ( x)} 0, x [2,8], 1, x [2,8] A B [2,8], A B ( x) 0, x [2,8]
则
A B ( x) max{ A ( x), B ( x)}
(6) 存在最大最小元
AU
(7) 还原律(involution) ( Ac )c A
(8) De Morgan 德.摩根律（对偶律）
( A B)c Ac B c ( A B)c Ac B c
(9) 补余律(complementation)
A Ac U (排中律)
例
X {1,2,3},Y {a, b, c, d }, Z {甲,乙}
R1 {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, d )} P( X Y )
R2 {(a,甲), (c,甲), (b,乙), (d ,乙)} P(Y Z )
则R1 R2 {(1,甲), (3,甲), (2,乙), (3,乙)} P( X Z )
空集: 不含任何元素的集合,记为 子集: 若x A xB, 或B包含A.记为A B或B A
相等: A B 且 B A，则称 A与B 相等，且A=B 真子集: A B且A与B不相等，称A是B的真子集，
或A真包含于B, 记A B
2. 集合的运算
A, B P(U)
并 (union) A B {x | x A或x B} 表“或”
交 (int ersection) A B {x | x A且x B}
余(complement) Ac {x | x A}
差 A B x x A, x B 表“且” 表“非”

E
A A∩B= E A B A A∩B B B A B
E
A∪B E
A⊂B
３.集合运算的性质
(1) 幂等律(idempotence)
A A A A A
A B B A
(A B) C A (B C)
(2) 交换律(commutativity)
A B B A
推广：
iI
A Ac
(矛盾律)
Ai P(U) (i I)
iI
Ai {x | i I , x Ai },
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
集合A＝{1，2，…，n}，它含有n个元素,可 以说这个集合的基数是n，记作 card A＝n 也可以记为｜A｜＝n， 空集的基数 即｜｜＝0．
从而 B ( x) 1,即x B
于是，A B
(v) A B x X , A ( x) B ( x)
二、关系(Relations)
1. 直积
定义：设A和B是任意两个集合，用A中的元素为第 一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对，所有 这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积， 也称集合A和B的直乘积，记做A×B 一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B， 规定A×B＝{(x,y)xA,yB} ，不能写作B×A。
n个
例3 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d}, 求A×B×C, B×A。
解 : 先计算A×B＝ {{a,1}, {a,2},{a,3}, {{b,1}, {b,2},{b,3}} A×B×C＝ {{a,1}, {a,2},{a,3}, {{b,1}, {b,2},{b,3}}×{d} ＝ {<{a,1},d>, <{a,2},d>,<{a,3},d>, <{b,1},d>, <{b,2},d>, <{b,3},d>} B×A＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}
(3) 结合律(associativity)
A (B C) (A B) C
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
设X , Y是两个集合， R X Y，则称R是从X到Y的 一个二元关系，简称为 一个关系。若( x, y ) R，则 称x与y具有关系R, 记xRy。特别地，X Y时，R称为 X上的关系。
注1.关系就是集合， 即R P( X Y )； 注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。 例
类似可得：
(ii ) x X , AB ( x) A ( x) B ( x)
取小运算, 如 2∧ 3 = 2
(iii) x X , Ac ( x) 1 A ( x)
(iv) A B x X , A ( x) B ( x)
证：
X {2， 3}，Y {1， 2， 3,4}， 从X到Y的小于关系为： R1 {( x, y ) | x y, x X , y Y } {(2,3), (3,4), (2,4)}
从Y到X的小于关系为： R2 {( y, x) | y x, x X , y Y } {(1,2), (1,3), (2,3)}
n阶笛卡儿积 将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合
A1 A2 K An {( x1 , x2 ,K , xn ) | xi Ai }
称为 A1 , A2 ,L , An的卡氏积 例1
Ai P( X i )
(i 1, 2, K , n)
设A {a, b}, B {1,2,3}
则A B {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
B A {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
例2 R表示实数集，
则R R即为实平面， R R L R 14444 42 44444 3为n维欧氏空间
并：R1 R2 {( x, y) | ( x, y) R1或( x, y) R2 }
交：R1 R2 {( x, y) | ( x, y) R1且( x, y) R2 }
余：Rc {( x, y) | ( x, y) R}
逆：R1 {( y, x) | ( x, y) R} P(Y X )
第一章 模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射 集合的特征函数
二、关系
直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分
一、集合
1. 集合的有关概念
论域:讨论范围U称为论域(universe )或全集
若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
3. 关系的运算
设R, R1 , R2 P( X Y ), 定义：
注：关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}， R为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n，
则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
在上例中，从X 到Y的小于关系为R1 , 则：
1 （R1） {(3, 2), (4， 3), (4， 2)}为从Y 到X 的大于关系
合成：设R1 P( X Y ), R2 P(Y Z ), 则R1与R2的合成 R1 R2 P( X Z )定义为：
R1 R2 {( x, z ) | y Y , ( x, y ) R1且( y, z ) R2}
注：有穷集、无穷集
定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数）， 使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集，否则称A 为无穷集。 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷 集
5. 映射
设 X , Y 都是集合，若存在对应关系f, 使 x X, 都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 是映X入Y 的映射。 记号： f : X Y x a y f (x)
读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。
例1：设A {1,2,3}, B {a, b, c}, 定义对应法则：
f1 :1 a a, 2 a b, 3 a c f 2 :1 a a, 2 a a, 3 a a
则f1, f 2均为从A到B的映射。
特殊映射：双射(bijection)： 单射 满射 注1. 单射或满射的概念与集合有关. 例如: