n 重伯努利试验
å å 1
n
n i =1
Xi
¾P¾® 1 n
n i =1
EX i
å n 次观察的算术平均值
X
=
1 n
n i =1
Xi
依概率收敛于期望值 m
，辛钦大数定律从理
论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性.
事件 A 发生的频率依概率收敛于事件 A 的概率，以严密的数学形式论证了频率的 稳定性。当试验次数 n 很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概
依概率收敛的直观意义是：当 n 充分大时， X n 几乎总是取接近于 a 的值．
频率的稳定性有了严格的数学描述，也使得当试验次数较大时，用事件的频率来代 替概率的做法有了理论依据．
1){X n} 是独立同分布
2） EXi = m , DXi = s 2
å ìlimP Nhomakorabeaïï í
n i =1
Xi
- nm
£
ò =
e 2 dt = F(x)
2p -¥
○2 当 n 较大， p 较小, l = np 适中时，用泊松分布近似公式
P{X = k} » lk e-l , (k = 0,1, 2,L) 。 k!
○3 当 n 较大, p 不太大时，用正态分布近似：
P {a
<
X
<
b}
=
P
ìï í
a
- np
<
X
- np
<
D. X1, 2X 2 ,L, nX n ,L
例 2 已知随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立,且都在 (-1,1) 上服从均
å 匀分布,根据独立同分布中心极限定理有
lim
P
ì í
n
î n ®¥ i =1
Xi
£
n
ü ý
等于(
C
).
þ
A. F(0)
B. F(1)
C. F( 3)
例 3 下列命题正确的是( B ) .
A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律.
B.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律.
D. F(2)
C.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律.
D.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律.
n
å 例 4 设随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立， X = Xi .根据林德伯
典型例题
例 1 设随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立， X n 服从参数为 n 的指数
分布 (n ³ 1) ,则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是( C ).
A.
X1,
1 2
X 2,L,
1 n
X n ,L
.
B. X1, X 2 ,L, X n ,L
C. X1, 22 X 2 ,L, n2 X n ,L
大数定律与中心极限定理
大数定律
切比雪夫 大数定律
辛钦大数 定律
伯努利大 数定律
切比雪夫 不等式
依概率收 敛
林德伯格列维中心 极限定理
å å 随机变量序列{Xn} ，若
1 n
n i =1
Xi
¾P¾®
1 n
n i =1
EX i
，称{X n} 服从大数定律．算数平均值在一定的条件下稳定于数学期望的算数平均值.
b-
np üï ý
»
F(b -
np ) - F( a
-
np )
ïî npq npq npq ïþ
npq
npq
中心极限 定理的客 观背景
某一个随机变量，只要由大量的相互独立的随机因素综合影响形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都很微笑，那么这种随 机变量近似服从“正态分布”。
沈阳师范大学 计算机与数 1 学基础教学部 杨淑辉
率，从而为估计概率提供了一种方法.
E( X ), D( X ) 存在. a 为常数, 任意e > 0
{P
X
- EX
³e }£
DX e2
P{
X
- EX
< e} ³ 1-
DX e2
{ } lim P
n ®¥
Xn -a ³ e
=0
{ } lim P
n ®¥
Xn -a < e
=1
方差反映随机变量的取值对其分布中心 EX 的集中程度的数量指标. DX 越小，随 机变量 X 取值于开区间 (EX - e , EX + e ) 的概率就越大.
ü
x
ïï ý
n®¥ ï
ns
ï
ïî
ïþ
1
x -t2
ò =
e 2 dt = F(x)
2p -¥
n
å 若独立同分布序列{X n} 期望、方差都存在，当 n 充分大时， X i 的分布函数， i =1
n
n
å Xi - nm
å 可用正态分布近似. Xi ~ N (nm, ns 2 ) ，
i =1
i =1
ns
~ N (0,1)
二项分布的极限分布是正态分布.称为“二项分布的正态近似”.
○1 当 n 不太大时，直接计算： P{X = k} = Cnk pk qn-k , k = 0,1, 2,L, n 。
棣莫弗-拉 普拉斯中 心极限定
理
X ~ B(n , p )
lim
P
ìï í
X
-
np
£
xüïý
n®¥ ïî npq ïþ
1
x -t2
条件
结论
含义
1）{X n} 两两不相关； 2） DX i £ c .
注：不要求同分布
å 算术平均值
X
=
1 n
n i =1
Xi
比较紧密地聚集在它的数学期望 E X
的附近，可以作为
对其期望平均值的一种估计.肯定了取平均值的合理性。
1）{X n} 是独立同分布
2） EX i = m 存在
注：不要求方差存在
ï
ïî
ïþ
例 6 已知随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立,且都服从泊松分布
å P(1)
,根据独立同分布中心极限定理有
lim
P
ì í
n
î n ®¥ i =1
Xi
£
n
ü ý
等于(
þ
A
).
A. F(0)
B. F(1)
C. F( 3)
D. F(2)
{ } 例 7 设 DX = 0.004 ,则由切比雪夫不等式可知 P X - EX < 0.2 ³ 0.9 .
i =1
格—列维中心极限定理，当 n 充分大时， X 近似服从正态分布，只要
{X n , n ³ 1} ( C ).
A.有相同的数学期望.
B.有相同的方差.
C.服从同一泊松分布.
D.服从同一连续型分布.
例 5 下列各式成立的是( B ).
å ì n
ü
A.
lim
P
ïï í
i =1
Xi
-
n
£
xïïý
=
F( x)
n®¥ ï
n
ï
ïî
ïþ
å B.
lim
P
ì ïï
l
í
n i =1
Xi
-
n
£
ü xïïý
=
F( x)
n®¥ ï
n
ï
ïî
ïþ
å C.
lim
ì
P
ïï í
n i =1
Xi
-l
£
ü
x
ïï ý
=
F(x)
n®¥ ï nl
ï
ïî
ïþ
å D.
lim
P
ì ïï í
n i =1
Xi
-
n
£
ü xïïý
=
F( x)
n®¥ ï nl