勒让德方程
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二、勒让德方程的求解
(1 x ) y' '2xy'l (l 1) y 0
2
(8)

设此方程在x=0处有幂级数解 y Ck x k
y' kCk x k 1
k 1
y' ' k (k 1)Ck x k 2
k 2

C0与C1线性无关
y1 ( x) x
y0(x)只包含x的偶次幂，y1(x)只包含x的奇次幂。
勒让德方程有两个线性独立的解y0(x)和y1(x) ， 称为勒让德函数，称为第一类勒让德函数。
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从系数的递推公式依据 幂级数收敛的达朗贝尔 判别法，这两个幂级数 的收敛半径为
k 5
(l 5)(l 3)(l 1)(l 2)(l 4)(l 6) C7 C1 7!
i
(l 2i 1) (l 3)(l 1)(l 2)(l 4)(l 6) (l 2i) C2i 1 (1) C1 (2i 1) !
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第五章：勒让德多项式
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本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 勒让德方程的求解 • 勒让德多项式的性质
• 函数展成勒让德多项式的级数
参考了孙秀泉教授的课件
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一、几个微分方程的引入
三维波动方程： 三维热传导方程： 分离变量：
Ck k C k 2 2 1 (1 )(1 ) (k 2)(k 1) k k 1 lim lim k ( k l )(k l 1) k l l 1 (1 )(1 ) k k
R lim
l (l 1) 2 (l 2)l (l 1)(l 3) 4 y0 ( x) 1 x x 2! 4! y1 ( x) x (l 1)(l 2) 3 (l 3)(l 1)(l 2)(l 4) 5 x x 3! 5!
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1 d 2dR 1 d d 1 d 2 (r ) (sin ) R dr dr sin d d sin 2 d 2
(2)
左端只与r有关，右端只与、有关，要使两边相等， 只能等于常数。令该常数等于l(l+1)，l为实数。
1 d 2dR (r ) l (l 1) R dr dr
k 0
代入式(8)
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(1 x ) k (k 1)Ck x
2 k 2

k 2
2 x kCk x
k 1 k

k 1
l (l 1) Ck x k
k 0 k

k (k 1)Ck x
k 2

k 2
k (k 1)Ck x 2 kCk x l (l 1) Ck x k
(2 l )(2 l 1) (l 2)l (l 1)(l 3) C4 C2 C0 (2 2)(2 1) 4!
(l 4)(l 2)l (l 1)(l 3)(l 5) C6 C0 6!
i
(l 2i 2) (l 2)l (l 1)(l 3) (l 2i 1) C2i (1) C0 (2i) !
m m 0 k 0
(k 2)(k 1)Ck 2 (k l )(k l 1)Ck x 0
k k 0
k (k 1) l (l 1) k2 l2 k l (k l )(k l 1)
求和为零的充分必要条件是任意项xk的系数为零
勒让德函数在 x<1内收敛
勒让德函数在x>1时发散。可以证明，在边界x=1上 是无界的。在实际问题中，又常常要求勒让德方程在 闭区间[-1,1]上有界。考虑将无穷级数y0(x)和y1(x)截 断，使它们变成多项式。多项式是一定有界的。
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Ck 2
(k l )(k l 1) Ck (k 2)(k 1)
k 2 k 1 k 0

k (k 1)Ck x k 2 k (k 1) 2k l (l 1)Ck x k
k 2 k 0
k=m+2
(m 2)(m 1)Cm 2 x k (k 1) l (l 1)Ck x k
2 2
2 2 2 2 2 2 2 a a 2 2 2 2 t y z x 2 2 2 2 2 2 a a 2 2 2 t y z x
(7)的通解为
( ) B1 cosm B2 sin m
(6)为连带勒让德方程。令x=cos，y(x)=()，则
2 m (1 x 2 ) y ' '2 xy' l (l 1) y0 2 1 x
2 ( 1 x ) y' '2xy'l (l 1) y 0 ) R(r )( )( )
d 2 d R R d d R d 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r dr dr r sin d d r sin d r2 两边同乘以 ，并移项，得 R 1 d 2dR 1 d d 1 d 2 (r ) (sin ) R dr dr sin d d sin 2 d 2
取： k ( x) 1 x 2、q 0、 1
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
勒让德方程
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从拉普拉斯方程直接引入勒让德方程 球坐标系中的拉氏方程为：
2u 0
(1)
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin
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(k 2)(k 1)Ck 2 (k l )(k l 1)Ck 0
Ck 2
k 0 k2 k4
(k l )(k l 1) Ck (k 2)(k 1)
(0 l )(0 l 1) l (l 1) C2 C0 C0 (0 2)(0 1) 2!
球贝塞尔方程
k=0
k=0
d 2 dR 2 r R 0 dr dr
欧拉方程
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2 1 d d m 2 sin ( 2 ) 0 sin d d sin
x cos y ( x) ( )
连带勒让德方程：
2 d dy m 2 2 ( 1 x ) ( )y 0 2 dx dx 1 x
m=0 勒让德方程：
d 2 dy 2 ( 1 x ) y0 dx dx
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Sturm-Liouville（ 施 d d y k ( x) q ( x) y ( x) y 0 , (a x b) 图姆-刘维尔）型方程 dx d x
取： k ( x) 1、q ( x) 0、 ( x) 1
2 m 取： k ( x) x、q ( x) 、 ( x) x x
d2y y 0 dx2
亥姆霍兹方程
=1时
d dy m2 x y xy 0 dx dx x 参数形式的贝塞尔 d dy m2 x y xy 0 方程 dx dx x 贝塞尔方程
(r, t ) u(r )T (t )
u k u （亥姆霍兹方程） 0
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球坐标下：
z

r
y

x r sin cos y r sin sin z r cos
x
2u k 2u 0
1 2 u 1 u 1 2u 2 r sin k u0 2 2 2 2 2 r r r r sin r sin
当l=k时，Ck+2、Ck+4、…均为零，无穷级数y0(x)和 y1(x)中，必有一个退化为l次多项式。当实数l限于 l=0,1,2,3,…时，勒让德方程的解为多项式。
(k 2)(k 1) Ck Ck 2 (k l )(k l 1) (k 0,1,2,...,l 2) Cl 2 l (l 1) (2l 2)! Cl l 2(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)! l (m 0,1,2,..., ) 2
(5)
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1 d d 1 d 2 2 sin (sin ) l (l 1) sin d d d2
1 d d sin (sin ) l (l 1) sin 2 m 2 d d
(5)
(6) (7)
1 d 2 2 m 0 2 d
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u(r , , ) R(r )( )( )
' ' ( ) m ( ) 0
2
1 d d m2 2 sin ( 2 ) 0 sin d d sin
d 2 dR 2 2 2 r (k r ) R 0 dr dr
(3)
(4)
1 d d 1 d 2 (sin ) l (l 1) 2 2 sin d d sin d