一、选择题1．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．33．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．44．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点5．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．设1cos 29sin 2922a =-，b =22tan161tan 16c =+，则有（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．sin34sin64cos34sin 206︒︒-︒︒的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．18．已知3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．439．已知()1sin 2=-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．10．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-11．若将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（ ）A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()log 44a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7πcos 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．35C ．45-D ．45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 14．已知函数()sin f x x =，若存在1x 、2x 、⋅⋅⋅、m x 满足1206m x x x π≤≤<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()()12231120,N m m f x f x f x f x f x f x m m *--+-+⋅⋅⋅+-=≥∈，则m的最小值为______.15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，1O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，2O 为圆弧CD 所在圆的圆心，点A 是圆弧AB 与直线AC 的切点，点B 是圆弧AB 与直线BD 的切点，点C 是圆弧CD 与直线AC 的切点，点D 是圆弧CD 与直线BD 的切点，1218cm O O =，16cm AO =，215cm CO =，圆孔1O 的半径为3cm ，则图中阴影部分的的面积为______2cm ．16．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 17．已知α为第二象限角，且2sin 3α=sin()63sin 2cos 21πααα+++___________. 18．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.19．若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 23．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=. （1）求sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 24．已知函数31()sin 2cos 244f x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 25．已知函数()()2cos 23sin cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．26．已知函数()3sin 22f x x x =.（1）若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0A π<<，求A 的值．（2）先将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，求函数y g x 的单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．2．C解析：C 【分析】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.3．C解析：C 【分析】先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析()()f x g x =的条件并求解ω的值.【详解】由题意可知()sin 22g x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω=+， 得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于： （1）得出函数()g x 的解析式；（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.4．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．5．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．6．B解析：B 【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论． 【详解】129si sin(6029)si 3n 29122n a =︒-︒=︒=-，b =sin 33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin 161tan 161c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒++， 显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．7．C解析：C 【分析】利用诱导公式化简整理，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】()sin34sin64cos34sin 206sin34cos26cos34sin 26sin 3426sin60︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒= 故选：C ．8．A解析：A 【分析】根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得sin α的值，即可求得答案. 【详解】因为3πin 325s α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，所以4sin 5α===±， 又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4sin 5α 所以sin tan s 43co ααα==-． 故选：A ．9．B解析：B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】()()1sin 2f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；当π2x =时，ππ1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.10．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．A解析：A 【分析】先求出平移后的解析式为23sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度得：23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令()223x k k Z ππ+=∈，解得：()32kx k Z ππ=-+∈， 当1k =时，326x πππ=-+=，所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A12．D解析：D 【分析】先利用对数函数图象的特点求出点()3,4A -，再利用三角函数的定义求出sin θ的值，利用诱导公式可得7πcos sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】 对数函数log ay x =恒过点()1,0，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得()log 44a y x =++的图象，点()1,0平移之后为点()3,4-，所以()3,4A -，令3x =-，4y =，则5OA ===，所以4sin 5y OA θ==， 由诱导公式可得：7π4cos sin 25θθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出()3,4A -，会利用三角函数的定义求出θ的三角函数值，会利用诱导公式化简7πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭. 二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】本题首先可根据正弦函数的性质得出然后根据当最大时最小即可得出结果【详解】因为所以因此要使成立的最小须取即故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质能否结合正弦函数性质得出是解决本题 解析：8【分析】本题首先可根据正弦函数的性质得出()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，然后根据当()()m n f x f x -最大时m 最小即可得出结果. 【详解】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=成立的m 最小，须取10x =、22x π=、332x π=、452x π=、572x π=、692x π=、7112x π=、86x π=，即8m =，故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，能否结合正弦函数性质得出()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=是解决本题的关键，考查转化与化归思想，考查学生分析问题和讨论问题的能力，是中档题.15．【分析】根据图形的割补思想可得阴影部分的面积为：两个直角梯形的面积减去一个扇形面积减去圆的面积再加上小扇形的面积即可得答案；【详解】如图所示：则故答案为：【点睛】利用割补思想发现图形间的关系结合直角解析：72π【分析】根据图形的割补思想可得阴影部分的面积为：两个直角梯形的面积减去一个扇形面积，减去圆的面积，再加上小扇形的面积，即可得答案； 【详解】如图所示：12O M CO ⊥，则21219,18,93O M OO O M ===， ∴1221233O O M CO D AO B ππ∠=⇒∠=∠=，1121221O AO O C BO O D CO D AO B S S S S S S =+--+圆梯形梯形扇形扇形，∴222112122(615)93153618937222323S ππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯=，故答案为：189372π. 【点睛】利用割补思想发现图形间的关系，结合直角梯形的面积公式、扇形的面积公式，是求解本题的关键.16．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关 解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..17．【分析】由条件依次算出然后代入即可算出答案【详解】因为为第二象限角且所以所以所以故答案为：解析：34-【分析】由条件依次算出cos α、sin 2α、cos2α，然后代入即可算出答案. 【详解】因为α为第二象限角，且sin 3α=，所以1cos 3α=-所以1sin 22sin cos 23ααα⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，27cos 22cos 19αα=-=-111sin()34πα+-⨯-===- 故答案为：34-18．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=， 此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =， 综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.19．【分析】由结合诱导公式和二倍角公式得出答案【详解】故答案为：解析：19-【分析】 由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案． 【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-20．【分析】联立方程组求得的值结合余弦的倍角公式即可求解【详解】由题意知：联立方程组求得所以故答案为： 解析：725【分析】联立方程组，求得sin ,cos αα的值，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知：7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，联立方程组，求得34sin ,cos 55αα=-=-，所以2247cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=. 故答案为：725. 三、解答题21．（1）3百米；（2）7百米． 【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，又1BC =，所以π6PCB ∠=，PC =π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=， 则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米； （2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<， 则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-， 在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF=∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即sin 12πsin 23a a αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan θ=），即边长的最小值为7百米， 所以三角形DEF连廊长的最小值为7百米． 【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）⎡-⎣. 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据正弦函数的单调性即可求解. （2）由题意可求范围2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质即可求解其值域. 【详解】解：（1）()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122cos 24sin )sin )2x x x x x x ⎫=-+-+⎪⎪⎝⎭2cos 22cos 2x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2262x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，可得12sin 26x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡-⎣.23．（1）310+；（2） 【分析】（1）由cos α求出sin α，利用两角和与差的正弦公式求解即可； （2）利用二倍角公式和两角和与差公式计算出结果． 【详解】 （1）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=，4sin 5α∴==，1sin cos 62πααα⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭1342525=⨯+=（2）由（1）可得：24sin 22sin cos 25ααα==22cos 2cos sin =-ααα223455⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 725=-，1cos 2cos 2232πααα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭1724225225⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭=. 24．（1）π；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式即可求解； （2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为1111()2cos 22cos 2sin 242226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==， （2）因为5012x π≤≤， 所以5026x π≤≤，所以266x πππ≤+≤所以0sin 216x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以110sin 2262x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 25．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=，所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时,()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-，所以1m ≤- 【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.26．（1）512A π=或1112A π=；（2）,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）化简得())6f x x π=-6A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）先求出函数()g x 的解析式，再求函数的单调递增区间. 【详解】（1）())6f x x π=-）所以26A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以5666A πππ-<-<， 所以64A ππ-=或34π， 所以512A π=或1112A π=（2）()2,6f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3π个单位得到)])362y x x πππ=+-=+，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()442g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图像，令242k x k πππ-+≤≤，k Z ∈, 所以422k k x πππ-+≤≤， 所以递增区间为,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛：求函数sin()y A wx h φ=++的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.。