2017年南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科试卷考试时间：90分钟 满分100分就读学校： 姓名： 考场号： 座位号：一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个正确答案）1.实数r q p 、、在数轴上的位置如图，化简()()()222r q q p p r p +++--+的值为（ ）A. p r -2B. p -C. q p 23--D. r p 23+- 2.已知a 为实常数，则下列结论正确的是（ ）A. 关于x 的方程a x a =的解是1±=xB. 关于x 的方程a x a =的解是1=xC. 关于x 的方程a x a =的解是1=xD. 关于x 的方程()11+=+a x a 的解是1±=x 3.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ，图象如图 所示，给出以下结论：①ac b 42>；②0>abc ；③02=-b a ； ④039>+-c b a ；错误的结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34.设方程012)1(2=+++x x k 的两根为1x 、2x ，若2121221x x x x +≥+⋅， 则满足条件的整数k 的值有（ ）A. 无数个B. 0,1,2--C. 0,1-D. 0,2- 5.如图，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将ABE ∆向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若FDE ∆的周 长为29，FCB ∆的周长为51，则FC 的长为（ ） A ． 9 B. 10 C. 11 D. 126.已知b a ,都是实数且0111=--+b a b a ，则ab的值为（ ） A ．251--或251+- B. 251-或251+ C. 251- D. 251+- 第3题图第5题图7.如图，在ABC Rt ∆中，BC AC ⊥，过C 作AB CD ⊥，垂足为D ， 若3=AD ，2=BC ，则ABC ∆的内切圆的面积为（ ） A ．π B. ()π324- C. ()π13- D. π28.已知x 是正整数，则当函数2901--=x y 取得最小值时x 的值为（ ）A. 16B. 17C. 18D. 19 9.观察下列数的规律： ,8,5,3,2,1,1，则第9个数是 （ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 3410.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒=∠120C ，3=AB ，61+=AD ，22=CD ，则BC 边的长为 （ ）A ． 22-B.215- C. 23 D. 22二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）11.关于x 的方程()()()0,1121122≠≠-+=--+mn n m x x mnx n x m 的解为 12.甲、乙、丙三人在一起做“剪子、布、锤子”游戏，约定每个人在每一个回合中只能随机出“剪子、布、锤子”中的一个，那么在一个回合中三个人都出“锤子”的概率是13.矩形ABCD 中，4=AB ,3=AD ，将该矩形按照如图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（1A A →）叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线长等于14.在ABC ∆中，5==AC AB ，54cos =B ，若以M 为圆心，17为半径的圆经过C B 、两点，则线段AM 的长等于第7题图第10题图三、解答题（本大题5小题，共58分）15.（本题满分7分）将下列式子因式分解： （1）22a a x x -++ （2）233+-x x16.（本题满分9分）（1）化简xx 111111+-+；（2）已知111242+=++a x x x ，用含a 的式子表示12+x x.17.（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤-=02022x kx x x kx y ，其中k 为实数.（1）当0=k 时，在所给的网格内做出该函数图象的简图，并利用图象求0>x 时，函数的最大值；（2）当k 变化时，探究函数图象与x 轴的交点个数.18.（本题满分12分）如图①，正方形ABCD 的边长为7， ADB ∠的角平分线DE 交AB 与点E .（1）求AEBE的值； （2）若P 在线段BD 上运动，如图②，当BP 为何值时，AP EP +的值最小.第18题图① 第18题图② 第18题备用图19.（本题满分18分）如图①，抛物线()02<+=a c ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴交于C B 、两点（点C 在x 轴正半轴上），ABC ∆为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一个交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H . （1） 求c a 、的值；（2） 连接CF OF 、，求证:FCE OFE ∠=∠;（3） 在y 轴上是否存在点P ，当以PE 为直径的圆交直线FH 于点Q 时，以点E Q P 、、为顶点的三角形与EOP ∆全等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第19题图① 第19题图② 第19题备用题2017年南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科答案一、选择题（每小题3分，共30分。

每小题只有一个正确答案）二、填空题（每小题3分，共12分） 11. n m nm x -+=12. 271 13. π30 14. 2或4 三、解答题15. （本题满分7分）解：（1）22a a x x -++=()()a x a x -++1…………………………………………… 3分（2）解法一：()()122223333---=+--=+-x x x x x x x x ……………… 5分()()[]()2)1(21)1()1(2122-+-=-+-=---=x x x x x x x x x …6分()()212+-=x x …………………………………………………………7分解法二：()()()211232223--+-=+-+-x x x x x x x x ………………… 5分()()212-+-=x x x ……………………………………………………6分()()212+-=x x …………………………………………………………7分16．（本题满分9分）.解：（1）()1111111111111=-+=+-+=+-+x x x x x xx …………………………………………… 3分 （2）由111242+=++a x x x 得0≠x ，且11122+=++a xx ∴a x x =+221…………………………………………………………………… 5分 22111222+±=++±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=+∴a x x x x x x ……………………… 7分∴221112++±=+=+a a xx x x…………………………9分 （结论没有有理化扣1分） 17. （本题满分12分）（1）能够正确通过描点画出函数图象给4分当0>x 时，函数的最大值为1……………………………6分 （2）结合图象可知：1>k 或0<k 时，函数图象与x 轴有1个交点………8分0=k 或1=k 时，函数图象与x 轴有2个交点………10分 10<<k 时，函数图象与x 轴有3个交点……………12分18. （本题满分12分） 解：（1）延长CB 与DE ，交于点F ，…………………………………………………… 1分 FC AD //，∴EFB ADE ∠=∠………………………………………………2分 又BDE ADE ∠=∠，∴EFB BDE ∠=∠∴BF BD =………………………3分 ADE ∆∽BFE ∆…………………………………………………………………4分∴2===ADBDAD BF AE BE …………………………………………………………6分（2）连接AC ,则AC 与BD 互相垂直平分 连接EC 交BD 于P ,则PC AP =∴EC PC EP AP EP =+=+,此时AP EP +的值最小…… 8分 设x BP =BEP ∆ ∽DCP ∆,DCBEDP BP =∴由（1）知，2=AE BE ，∴122+=DCBE…………………10分∴12227+=-xx ，解得224-=x ………………… 11分∴当224-=BP 时，AP EP +的值最小。

…………… 12分 19.解：（1） 抛物线()02<+=a cax y 与y 轴交于点A ，∴()0,,0>c c A ，则c OA =，ABC ∆为等腰直角三角形，∴c OC OB OA ===，∴4221=⋅⋅c c ，解得2=c （舍负根）………………2分 ∴()0,2C ，22+=ax y ，将()0,2C 代入22+=ax y 中，得024=+a ，得21-=a 综上：21-=a ，2=c …………………………………3分 （2）设直线AB 的解析式为b kx y +=，将)2,0(A 、)0,2(-B 代入得⎩⎨⎧=+-=022b k b 解得⎩⎨⎧==21b k则直线AB 的解析式为2+=x y ………………………………………………………4分 设)2,(+t t F ， 抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，顶点为F ， ∴可设平移后抛物线的解析式为()2212++--=t t x y 将()0,2C 代入得()022212=++--t t 解得61=t ，02=t （舍去）……………5分 ∴平移后抛物线的解析式为()86212+--=x y ，∴)8,6(F ………………………6分∴108622=+=OF ……………………………………………………………… 7分对称轴与x 轴的交点为H ,∴HE CH =，从而2,6==OC OH ,∴10=OE …………………………………………………8分∴OF OE =,∴OFE FEO ∠=∠…………………………………………………9分 又 FE FC =,∴FEO FCE ∠=∠∴FCE OFE ∠=∠…………………………………………………………………10分（3）假设存在点P 满足题意以PE 为直径的圆交直线FH 于点Q ，∴QE PQ ⊥……………………………11分︒=∠90POE ，若以点E Q P 、、为顶点的三角形与EOP ∆全等， 则有10==EO EQ 或者10==EO PQ …………………………12分设()m P ,0，()n Q ,6，分两种情况：① 若10==EO EQ ，4610=-=HE ，∴222104=+n ，∴842=n ，解得212±=n ，此时()212,6±Q …………13分过P 作⊥PK 直线FH ，垂足为K ，则()2226m n PQ -+=由PQ OP =，则有()2226m n m -+=，化简得60=mn ，∴7211060±==n m ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛±72110,0P …………………………………………………………………14分 ② 若10==EO PQ ,则OP QE =,∴()⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+)2(4)1(106222222mn m n （2）代入（1）得m m n 102-=………………16分代入（2）得252=m ，解得5±=m ∴()5,0±P ………………………………17分综上，存在满足条件的点P ，坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛±72110,0或()5,0±………………18分。