[[MM]
]
m01m01m2
m2
0 mn
0
,[k],
mn
k11
[k
]
kn1
kk1211
k n1
k12
k1n k
,[c]
knn
k
22112(221(22212 2 212 1 )2,1
)
,2(2222 (2112221)1111
)
微分方程组的求解较困难， 可先求出结构的自振周期 和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体 系的自振周期与无阻尼相同）。
0.05 0.06 1.7
0.45
注意： 计算一下阻尼比分别为0.05、0.1、0.2时 的γ值和η2值。γ=0.9、0.85、0.8
η2=1、0.78、0.625
3、抗震设计反应谱（ 谱）的特点
1）、T的区间，0 —6 s。一般建筑T 都小于6.0s。
2）、α存在最大值，T=0.1~Tg 之间， = max。
第3章 结构地震反应分析与结构抗震验算
本章是全课的重点！！！
§3.1 概述
基本概念： 地震作用与地震作用效应
地震作用：是指地面震动在结构上产生动力荷 载，俗称为地震荷载。 注意：是间接作用
地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变 形 结构动力特性
结构的自振周期、阻尼、振型等。
结构的地震反应： 结构的 位移、速度、加速度 及内力和变形 。
F m
(t )
x
mFFSaaxFGmmFFmGm((xF(ttxxxg))(tmmSSmggKx)aaaaammxxxxmSgKaaagaxxmx)gammmxaGxxx((mxxGggxgg(mmxmggaaxxxxmggaSxx))ggmmagaa)gxxmax G g K G
g max
烈度
6
7
8
9
设计基本地震加速 0.05g 0.1g 0.2g 0.4g
度值
K
0.05
0.1
0.2
0.4
max（设防烈度） 0.113 0.23 0.45 0.90
max（多遇烈度）
0.04
0.08 0.16 0.32
max（罕遇烈度）
0.50 0.90 1.40
多遇烈度=基本烈度-1.55度(1/2.82)
t 0
xg
(
)e (t )
sin (t
)d
xg (t)
max
Sv
x ( )e sin (t )d t
(t )
0 Sag
t 0
xg
(
)e (t )
sin (t
)d
mxga(xt )
max
1 Svt
t 0
xg
( )e((tt)
s) in (t
)d
max
S x ( )e sin (t )d d
x21
k 12
x22
k11 22m1
可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振 动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振 型数与自振频率数相同。
影响设计地震作用的因素分类
地震动特性方面 抗震设防烈度 设计地震分组 建筑场地类别
结构特性方面 结构自振周期（刚度） 建筑质量（重力荷载） 结构的阻尼比（材料）
§3.4 多自由度弹性体系地震反应分析的 振型分解法
一、多自由度体系振动微分方程建立
二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解 （自振周期和振型）
规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分 组、结构阻尼等影响。 1、抗震设计反应谱（地震影响系数）
0.45
2、各系数意义
（1）、反应谱是α-T关系谱，
实质是加速度谱。
0.45
（2）、α为一无量纲系数，
T的量纲为秒。
（3）、Tg为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。
设计地震
分组
I
场地类别
0g1Fra bibliotekSd
max
t 0
xg
(
)e (t )
sin (t
)d
T ()
max
当地面运动 xg (t ) 及结构的阻尼 确定后，可
以看出结构的反应仅与结构的自振周期 T() 有关。
绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱，
位移反应谱。
§3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及 其反应谱
二、多自由度无阻尼自由振动方程求解
1、自振频率和振型分析
[M ]{ x(t )} [k]{ x(t )} 0
令其解为 {x(t)} {X }sin(t ) {x(t)} 2{X }sin(t ) 2{x(t)}
代回方程： [M ] 22{ x(t)} [k]{ x(t)} 0 ([k] 22[M ]){ x} 0
作用于1质点上的阻尼力为 D1 (c11 x1 c12 x2 )
2）质点1的动力平衡方程 I1 + D1 + S1 = 0 得：
m1 x1 c11 x1 c12 x2 k11 x1 k12 x2 m1 xg （1）
同理可得到质点2的动力平衡方程
m2 x2 c21 x1 c22 x2 k21 x1 k22 x2 m2 xg （2）
将（1）、（2）式用矩阵表示：
m x c x kx m1 xg
x
x1 x2
x
x1 x2
x
x1 x2
其中：
m
m1
0
0
m2
c
c11 c21
c12
c22
k
k11
k21
k12
k22
推广到多自由度体系：
[[MM]{]x{(xt)(}t)}[c][{cx]({t)x}(t[)k}]{ x[(kt])}{ x(t[)M} ]{I}[xMg(]t{) I}xg (t)
罕遇烈度=基本烈度+1度左右(相当于2.13倍、 1.88倍和1.56倍）
四、计算地震作用时结构重量G的计算 计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称
为重力荷载代表值。
重力荷载代表值 = 结构自重标准值 + Ei 可变荷载标准值
Ei为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现 的可能性。 Ei见P75表3-11
2 2
M M
2 2
00
解出ω
2
1
2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
将求出的1、分别代回方程，可求出x1 、x2的相 对值
对应于1为第一振型
x11 x12
k12
k11 12m2
k11
k12
12m2
对应于为第二振型
3）、T＞Tg后， 随T而减小。 4）、T=0，α=0.45 max。T —0.1S 之间，α按直线增大。 5）、特征周期Tg ，坚硬场地Tg 小，软 弱的场地Tg 大。
6）、α的大小与地震烈度 （ max）、结构的自振 周期T、特征周期Tg 及结构的阻尼等有关。
0.45
三、用于设计的max 值（多遇烈度，罕遇烈度）
系数行列式
k 2 M 0
可求出n个ω（圆频率）
将i依次回代方程可得到相对的振幅{X}i， 即为振型。 若为两个自由度,令n=2，则有
kkkk11221111
kkkk11222222
2 2
M M011 0
0 0 M M
2 2
00
kk1111
kk2211
2 2
M M11
kk2222
kk1122
m m
m SSaaSa
G为重力，质点的重力 荷载，单位KN（力）
G K G
m Sa g max g （二）、x 影g m响ax 水平g地震作用的因素
F G K G
1、G，结构的重量（或称为重力荷载代表值）。
G越大，地震作用越大。
2、K，称为地震系数。表示地面震动的大小。 K与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速 度峰值进行调整后得到。
§3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
一、结构的计算简图
水平地震作用下结构的自由度简化
二、单自由度弹性体系的运动方程
1、运动方程建立
作用于质量m上的水平方向的力：
⑴ 弹性恢复力 S Kx
⑵ 阻尼力 R cx
xt
R
m
ma
S
“-”表示 与x方向相 反
xg t
质量m的绝对加速度 a x x g
强迫力。
c
k
x(t)
x(t)
cmx
m
x(t)
(t)
kmx(xt()t)
m
xgx(gt()t
)
2
x(xt()t)
2
2
2
cc 2kmkm
k k mm
x
(xt()t)
mkmk2x(xt()t)
xgx(gt()t
)
ζ
ω
这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次
方程的通解与非齐次方程通解之和。非齐次微分方程 的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。
4、非其次方程的特解 齐次方程的通解
x(t) et[x(0)cos 't x(0) x(0) sin 't] '
非' 齐 次1方程 的2特解
x(t ) 1
'
t 0
xg
(
)e (t )
sin
'(t
)d
非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次 方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故 其解为杜哈米积分。