[对应学生用书P44]一、定积分 1．定积分的概念：⎠⎛a bf (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．2．定积分的几何意义：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是 y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质： (1)∫b a 1d x ＝b －a . (2)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x .(3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．二、微积分基本定理1．如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．三、定积分的简单应用定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(四) 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫ba nf (x )d x ＝( )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD.m n解析：根据定积分的性质，∫b a nf (x )d x ＝n ∫b a f (x )d x ＝mn .答案：C2.∫10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C. 答案：C3．若∫k 0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D.不确定解析：∫k 0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 答案：B4．(江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D.1解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：B5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D.16解析：∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16. 答案：D6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝13. 答案：B7．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323C.643D.9解析：解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1－3(2x －3)d x＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323. 答案：B8．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( ) A ．16π B ．32π C ．8πD.4π解析：由图知旋转体的体积为π∫40(x )2d x ＝π2x 2 |4＝8π.答案：C9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20B.gt 203C.gt 202D.gt 206解析：s ＝∫t 00v (t )d t ＝12gt 2 |t 00＝12gt 20.答案：C10．如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是()A ．6B ．9C ．12D.3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x 2，y ＝x 2－2x －1， 解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x ＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝⎛⎭⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪2－1＝9. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11. ⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝________.解析：⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π30＝32.答案：3212．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 则x 0＝33. 答案：3313．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝∫604(6t －t 2)d t ＝4∫60(6t －t 2)d t＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪60＝144(cm 3)． 答案：14414．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1.与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛0 1210x 2d x ＋⎠⎜⎛112(10x －10x 2)d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪ 120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3⎪⎪⎪⎪112＝54.答案：54三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．解：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－32x 2＋2x |10＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2－2x |21 ＝⎝⎛⎭⎫13－32＋2＋⎝⎛⎭⎫－13×8＋32×4－4－⎝⎛⎭⎫－13＋32－2 ＝56－23＋56＝53－23＝1. 16．(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫∫10⎣⎡⎦⎤－x 24－(－x 2)d x ＋∫21⎣⎡⎦⎤－x 24－(－1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫∫103x 24d x －∫21x 24d x ＋∫21d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34⎪⎪⎪10－x 312⎪⎪⎪ 21＋x ⎪⎪⎪21＝43.法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2∫0－1(2－y －－y )d y＝2∫0－1－y d y ＝2×⎝⎛⎭⎫－23×(－y )32⎪⎪⎪－1＝43. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．解：依题意知，阴影部分的面积S ＝∫t 0(e t －1－e x ＋1)d x ＋∫1t (e x －1－e t＋1)d x ＝∫t 0(e t －e x )d x ＋∫1t (e x －e t )d x＝(x e t－e x)⎪⎪⎪t0＋(e x －x e t )⎪⎪⎪1t＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)， 则g ′(t )＝(2t －1)e t ， 取g ′(t )＝0，解得t ＝12.当t ∈⎣⎡⎭⎫0，12时，g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(t )>0，g (t )是增函数． 因此g (t )的最小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2， 故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ，f ′(x )是函数f (x )的导数．在区间[－1,1]内任取实数a ，b ，求方程f ′(x )＝0有实数根的概率．解：f ′(x )＝x 2＋ax ＋b .若方程f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则Δ≥0，即a 2≥4b ， 因此方程f ′(x )＝0有实数根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2≥4b ，满足此不等式组的点P (a ，b )形成的图形为图中阴影部分，其面积为S 1＝∫1－1⎣⎡⎦⎤a24－(－1)d a ＝∫1－1⎝⎛⎭⎫a24＋1d a ＝a 312 |1－1＋2＝136. 而坐标满足条件－1≤a ≤1，－1≤b ≤1的点形成的图形的面积S ＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f ′(x )＝0有实数根的概率为P ＝S 1S ＝1324.。