要使均方误差为最小，须满足
min J (n)
hk
J n J n 0 hk
k=0, 1, 2, …
E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 ak bk
记梯度算子为
k j ak bk
k=0, 1, 2, …
k J n
rwd k
2 w
k=0, 1, 2, …
由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果 IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。为了充分理解这种方法的思想， 将首现采用信号白化的方法针对非因果IIR维纳滤波器的求单位 脉冲相响应。
第三章 维纳滤波和卡尔曼滤波
3.1 引言 3.2 离散维纳滤波器的时域解 3.3 离散维纳滤波器的z域解
3.4 维纳预测
3.5 卡尔曼(Kalman)滤波
3.1 引 言

最优滤波
维纳滤波和卡尔曼滤波简介
本章讨论的主要内容
1、最优滤波



信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。 滤波器的分类： 线性滤波器、非线性滤波器； FIR滤波器、IIR滤波器； 时域滤波器、频域滤波器；
3.3 离散维纳滤波器的z域解

本节要解决的主要问题及方法
白化滤波器
非因果IIR维纳滤波器的Z域解 因果IIR维纳滤波器的Z域解
1、本节要解决的主要问题及方法

待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序
列时，所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k≥0的约 束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物 理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十 分困难的问题。
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m0

k=0, 1, 2, …
因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如 有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。
2 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为 w
将输入信号分配进去， 得到
* rxd ( k ) hopt ,i rxx (i k ) i 0
k=0, 1, 2, …
维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) hopt ,i rxx (k i)
i 0

k=0, 1, 2, …
4、FIR维纳滤波器的时域解
Sxs (z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则
Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
k 0
hk E[ x(n k )e* (n)]
k 0

* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
Hale Waihona Puke 3、 维纳—霍夫方程E[ x* (n k )eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
* E x(n k ) d (n) hopt ,i x(n i ) 0 i 0
rxx (0) rxx (1) Rxx rxx ( M 1)
（3.2.22）式可以写成矩阵形式， 即
Rxd Rxx h
对上式求逆，得到
1 h hopt Rxx Rxd
这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。
FIR维纳滤波器的估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度
误差绝对值的期望值最小 E[| e(n) |]min
误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小 E[| e(n) |k ]min
Wiener滤波器的一般结构
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
e(n) s(n) y(n)
E[| e(n) |2 ]min
FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程 当 h(n) 是一个长度为 M 的因果序列时， FIR 维纳滤波器的维 纳-霍夫方程表述为
rxd (k ) h(i)rxx (k i)
i 0
M 1
k=0, 1, 2, …,M-1
(3.2.21)
把k的取值代入(3.2.21)式， 得到
当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd (0)
等于M，
M 1 * E[| e(n) | ] E e(n)[d (n) h(m) x(n m)] m 0 2 * * * E e ( n ) d ( n ) h m E e ( n ) x (n m)] m 0 M 1
3.2 离散维纳滤波器的时域解

本节要解决的主要问题及方法
正交性原理
维纳—霍夫方程 FIR维纳滤波器的时域解
1、本节要解决的主要问题及方法

要解决的问题：寻求在均方误差最小情况下的单
位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)的表达式，这一过 程称为设计维纳滤波器的过程。

解决方法：实质是求解维纳－霍夫(Wiener-Hopf)
E e n e* n ak
j
E e n e* n bk
上式展开为
* * e ( n ) e ( n ) e ( n ) e ( n) 2 * * k E[| e(n) | ] E e (n) e(n) j e (n) j e(n) ak bk bk ak
2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介

维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的 结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最 优准则。
假设信号的真值与估计值间的误差为：
ˆ(n) e(n) s(n) s
均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：
2 2 ˆ 最小 E e(n) E s s
E[| e(n) |2 ]min
2 d
M 1 * * E e ( n ) d ( n ) E [ d ( n ) h ( m ) x ( n m )] d ( n ) m0
* 2 h(m)rxd ( m) d RH xd h m 0
将上述4式代入得
k J n k E[| e(n) |2 ] 2E[ x* (n k )e(n)]

正交性原理：
k J n 0 E[ x (n k )eopt (n)] 0, k 0,1,2,...
*
分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。
s
ˆ ess
x1
w1x1 0 w2x 2
ˆ s
x2
正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判
断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望 响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交：

E[ y (n)e* (n)] E[ hk x(n k )e* (n)]
又
e(n) s(n) y (n) s(n) hk x(n k )
k 0

s(n) a(k ) jb(k ) x(n k )
k 0

e(n) x(n k ) ak e(n) jx (n k ) bk e* ( n) x* ( n k ) ak e* ( n) jx* (n k ) bk

解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求
解Wiener-Hopf方程的Z域解。
若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为
r xd (k )
m
h(m)r

xx
(k m) h(k )* rxx k
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
x(n)=s(n)+v(n)
3、本章讨论的主要内容
主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和 IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤 波。 分析思路：在均方误差最小的前提下，求得 系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)， 进而计算滤波器的最小均方误差 E[| e(n) |2 ]min

2 min E e(n) hopt (n) 2 E e(n) min
2 的白噪声，由于 r xx (k ) r ww (k ) w k
则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：
2 2 r xd (k ) r wd (k ) h(m) w k m w h(k ) k=0, 1, 2, … m 0
h( k )
M 1
结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是 最小的，从这个意义上说，它是最优的。其阶数越高，采用的 已知信息就越多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量 也越大。 最优滤波器与非最优滤波器相比，其优势在于能对滤 波的质量做出评价。
例1 假设有一实的广义平稳随机信号s(n)的自相关函数（序列）
s(n)
x(n)
h(n)