高中数学 圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用 专题辅导
周华生
本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用。

定理1 若
AB
是椭圆
)0b a (b a y a x b :2222221>>=+Γ或双曲线
2222222b a y a x b :=-Γ或抛物线)0p (px 2y :23>=Γ的焦点弦，F 为焦点且λ=，（A 在B 之上），则弦AB 所在直线斜率k 满足
)1,0(1e )
1()1(k 2
2
22
±≠λ≠λ--λ+λ= （1）
证明：设AB 的倾角为α。

（1）当︒<α<900时，l 为F 对应的准线，如图1对曲线1Γ：
⎩⎨
⎧α-α=±=+-=+-=+λ-λ==
λ)
F (cos e )
F (cos e |AB ||)BC |(e |BF ||AF ||)'BB ||'AA (|e |
BF ||AF ||
BF ||AF |11,|'BB ||
'AA ||BF ||AF |为右焦点为左焦点
所以2
22
2
)1()1(e sec -λ+λ=α，即1e )1()1(tan 2222--λ+λ=α。

（2）当︒<α<︒18090时，如图2。

⎩⎨
⎧αα-=α-︒±=+-=+-=+λ-λ)
F (cos e )F (cos e )180cos(e |BF ||AF ||)
'BB ||'AA (|e |BF ||AF ||BF ||AF |11为右焦点为左焦点
同样地有1e )
1()1(tan 22
22
--λ+λ=α。

类似地可证明（1）对于32ΓΓ和也成立。

仿照定理1的证明方法可证得如下结论：
定理2 若AB 为椭圆)0b a (b a y b x a 222222>>=+或双曲线222222b a x a y b =-或抛物线)0p (py 2x 2>=的焦点弦，F 为焦点，且λ=，（A 在B 之上）则弦AB 所在直线斜率k 满足
)1,0(1e )1()1()k 1(22
22±≠λ≠λ--λ+λ= （2）
下面我们介绍公式（1）（2）的一些巧妙应用。

一、由定比求方程
例1. （2002年南昌高考模拟题）已知椭圆C 的焦点为)0,3(F ),0,3(F 21-，1F 到相应准
线距离为
3
3
，过2F 且倾角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B ，使|A F |3|B F |22=。

（1）求椭圆方程； （2）求直线l 的方程。

解：（1）设椭圆为3c ,3
3c b ,b a y a x b 2
222222===+，所以4a ,1b 22==，所以椭圆方程为1y 4
x 22
=+。

（2）23e ,211,31=-=-λ+λ=λ，代入（1）中得214
34k 2=-⋅=，因为0k >，所以2k =，
AB 方程为)3x (2y -=。

二、算定比求参数
例2. 已知椭圆C 的方程为)0b a (,b a y a x b 222222>>=+，双曲线222222b a y a x b =-的两条渐近线为21l ,l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，交点依次为A 、B （如图3），求
|
PA ||
PB |的最大值及此时椭圆C 的离心率e 。

解：设F （c ，0），l 方程为)c x (b a y -=，代入2l ：x a
b
y =中得P ：)c ab ,c a (2，故P
在椭圆准线上，设
1,,|AF ||BF ||AA ||BB ||PA ||PB |11λ=λ=λ===即则，在（1）中以λ
1
代入可化为22222
)b a (1e )1()1(k =--λ+λ=，所以)
b a (b )b a (a )1()1(2
2222222-+=-λ+λ，设)1,0()a b (t 2
∈=，且设0)
t 1(t t
1u >-+=
化简为01t )u 1(ut )t (f 2=+-+=，因为0)1(f ,0)0(f >>，故0)t (f =有根)1,0(t ∈的充要条件为
2
23)1()1(,223u 1u 2
23u 223u 1u 2u
10,0u 4)u 1(2
22+≥-λ+λ+≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+≥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<--<≥--=∆由或
得1212+≤λ≤-
所以12,223u max +=λ+=时，此时22t 1e ,12u
2u
1t -=-=-=--=而。

三、由定比求参数
例3. 设双曲线)0b ,0a (1b
y a x :C 2222>>=-的右焦点为F ，过F 作倾角为3π
的直线l 与双
曲线交于M 、N 两点，若|NF |5|MF |=，求双曲线离心率e 。

解：1）当5=λ时，由（1）
34
e 1e 163631e )1()1(k 222
22
=
-=--λ+λ=得即。

2）当M 、N 位于不同支上，则M 应在N 之下且51
-=，取5
1
-=λ代入（1）中得1e 36
1632
-=
，解得3e =。

故所求双曲线离心率为33
4
或。

例4. （2004年全国高考题）给定抛物线C ：x 4y 2=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，设AF FB λ=，若]9,4[∈λ，求l 在y 轴上截距的变化范围。

解：设l 在y 轴上截距为t ，则t k -=，以λ1代（1）中λ，1e )1()1(k 22
22
--λ+λ=，即
1)1()1(t 2
22
--λ+λ=，又因为31
1181≤-λ≤且12111-λ+=-λ+λ，所以351145≤-λ+λ≤，即
925)1()1(16252
2≤-λ+λ≤，所以9
25
1t 16252≤+≤。

解得3
4
t 4343t 34≤≤-≤≤-
或。

四、设定比求最值
例5. （2006年全国卷II 题）已知抛物线y 4x 2=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上两个动点，且)0(FB AF >λλ=，过A 、B 两点分别引抛物线的切线，设其交点为M 。

（1）证明AB FM ⋅为定值；
（2）设AMB ∆的面积为S ，写出)(f S λ=的表达式，并求S 的最小值。

分析：本题焦点F （0，1）在y 轴上，应用（2）。

解：（1）由（2）得2
22
2
)
1(41)1()1()k 1
(-λλ=--λ+λ=，所以λ-λ±=21
k ，由于A 、B 关于y 轴可对称处理，不妨先讨论0k >，此时AB 的方程是x 21
1y λ
-λ-=-即 02y 2x )1(=λ+λ--λ
① 设M 点坐标为)y ,x (11，其对应的切点弦方程为 0y 2y 2x x 11=-- ② ①、②重合，所以
11y 2222x 1x -λ
=
-λ-=-，解得1y ,1x 11-=λ
-λ=，所以1
20111k MF -λλ
-=-λ
-λ--=
，所以1k k AB MF -=⋅。

所以0=⋅为定值。

（2）由04x )1(2x x 211y 0y 4x 2
2=λ--λ-λ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧λ-λ=-=-。

得λ-λ=+)
1(2x x B A 。

所以λ+λ=
++λ
-λ=+++=2
B A B A )1(4)x x (21
1y 1y |AB |。

又由λ
-λ=
=α21
k tan AB 可得1
2cos +λλ
=
α 所以λ
+λ=α=1
cos 2|FM |。

所以4)1(21)1(121S 3
2ABM ≥λ
+λ=λ+λ⋅λ+λ⋅=∆。

所以)(f λ的最小值为4，此时1=λ。