圆锥曲线焦点弦问题题型一：已知倾斜角为θ的直线过圆锥曲线12222=+by a x 的焦点F ，且与圆锥曲线交于BA ,两点，1.若），（或FB AF FB AF λλ==，求离心率2.求弦AB 的长3.求ABO ∆面积的取值范围经典解法：如图，在中，21F AF ∆由余弦定理：θcos 22112212122F F AF F F AF AF -+=由a AF AF 221=+得θcos 21c a b AF -=同理，在中，21F BF ∆θcos 21c a b BF +=1. 若），（或FB AF FB AF λλ==，则θλθcos cos 22c a b c a b +=-即11cos +-=λλθe (椭圆，抛物线) 11cos -+=λλθe (双曲线) 2. θθθ22222211cos 2cos cos c a ab c a b c a b BF AF AB -=++-=+=3. 如图，=∆ABO S θsin 2121211AB c y y OF =-=θθ2222cos sin c a acb -题型二1：如图，直线21,l l 均过圆锥曲线12222=+by a x 的焦点F ，与圆锥曲线分别交点B A ,；D C ,， 求四边形ABCD 面积的取值范围θ2222cos 2c a ab AB -=，θπθ22222222sin 22cos 2c a ab c a ab CD -=⎪⎭⎫⎝⎛--=θθ22222222sin 2cos 22121c a ab c a ab CD AB S ABCD--== 题型二2：如图，直线21,l l 均过圆锥曲线12222=+by a x 的焦点1F ，2F ，与圆锥曲线分别交点B A ,；D C ,， 求四边形ABCD 面积的取值范围高考题：1.过抛物线)0(22>=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B两点（点A 在y 轴左侧），则=FBAF解:由公式：11cos +-=λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 312.双曲线12222=-by a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3，FB AF 4=则双曲线的离心率e=解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-=λλθe 得：e 11-21+=λλ=141-4+ ∴ e=563.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）,离心率23=e ，过右焦点且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若FB AF 3=，则k=（ B ）A 、1B 、2C 、3D 、2 解：由公式：11cos +-=λλθe 得cos θ=31∴ k=tan θ=2;故选B 。
4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（ ）解 这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解 如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
由焦半径公式得，。
12.（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。
设F 1、F 2是椭圆12322=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。
（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，根据椭圆的定义，1||23AF m =-，1||23BF n =-，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得2222(23)44cos (23)44cos m m m n n n αα⎧-=+-⎪⎨-=++⎪⎩， ∴23cos m α=-，23cos n α=+，∴11211||||2()sin 22F ABB A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+ 22()sin 3cos 3cos ααα=+-+243sin 2sin αα=+ 令sin t α=，所以01t <≤，∴21()22t g t t t t==++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2πα=时，max 1()3g t =，故1ABF △的面积的最大值为433．13. 如图，已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥。
求四边形面积的最小值。
F 2F 1AOBxy解 由方程可知，，则。
设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴的夹角为。
代入弦长公式得， ，。
故四边形的面积为，所以四边形面积的最小值为。
（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果||AB =154，求椭圆C 的方程解 （1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。
.(全国卷II)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 的方程为y =kx +1将此式代入椭圆方程得(2+2k )2x +2kx －1=0设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则12x x ==从而222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+亦即||PQ =(1)当k ≠0时，MN 的斜率为－1k，同上可推得221(1))||12()k MN k+-=+-故四边形面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++===++++ 令u =221k k +得4(2)12(1)5252u S u u +==-++ ∵u =221k k+≥2当k =±1时u =2，S=169且S 是以u 为自变量的增函数∴1629S ≤< ②当k =0时，MN 为椭圆长轴，，。
∴S=12|PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为16。
（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 【解】（Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21 + a 2y21 = a 2b 2b 2x 22 + a 2y22 = a 2b2 ⇒ y 1 - y 2x 1 - x 2 = - b 2(x 1 + x 2)a 2(y 1 + y 2) ⇒ k AB = - b 2x 0a 2y 0OP 的斜率为 12 ⇒ x 0y 0 = 2，直线x + y- 3 = 0的斜率为-1 ⇒ k AB =-1⇒-1= - 2b2a 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ……①由题意知直线x + y- 3 = 0与x 轴的交点F (3，0)是椭圆的右焦点，则才c = 3 ⇒a 2 - b 2 = 3 ……②联立解得①、②解得a 2 = 6，b 2 = 3所以M 的方程为：x 2—6 + y 2—3 = 1（Ⅱ）联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x + y- 3 = 0x 2—6 + y 2—3= 1，解得A (433 , - 33 )、B (0, 3)，求得| AB | = 463依题意可设直线CD 的方程为：y = x + mCD 与线段AB 相交⇒ - 533< m < 3联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x + m x 2—6 + y 2—3= 1 消去x 得：3x 2 + 4m x +2m 2 - 6 = 0 …… (*)设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 - x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 - 4x 3x 4]= 169(9 - m 2)四边形ACBD 的面积S = 12 | AB |• | CD | = 869 9-m 2当n = 0时，S 最大，最大值为863 .所以四边形ACBD 的面积最大值为863 .（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点2F 的直线l 交双曲线于A 、B 两点,1F 为左焦点． (1) 求双曲线的方程；(2) 若AB F 1∆的面积等于62,求直线l 的方程．∴所以直线l 的方程为)2(-±=x y已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．.解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a =2，b =，c =1，∴椭圆C 的方程为：．（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x =ty +1与椭圆交于A ，B 两点， 则，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y 1﹣y 2|===，∴==，椭圆C 的内接平行四边形面积为S =4S △OAB =，令m =≥1，则S =f （m ）==，注意到S =f （m ）在[1，+∞）上单调递减，∴S max =f （1）=6，当且仅当m =1，即t =0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．（2016全国1）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 解：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）.（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.。