重力加速度的精确测量与研究指导教师：孙爱民学生姓名：张禹2006级物理学（3）班学号：200672010361摘要：本文在总结传统测量重力加速度方法的基础上，通过搭建新的实验装置，探究一种新的测量重力加速度的方法。

该方法具有操作方便、简单的优点，并且提高了实验数据精确度，符合探究式学习的教育理念。

关键词：自由落体；重力加速度；光电门；瞬时速度Accurate measurement of gravitationalacceleration and ResearchZhang Yu，Sun Ai-minAbstract:This thesis explores a new approach to the accurate measurement of acceleration of gravity on account of a summary of existed approaches .the novel approach applies new experiment devices which improve much in the accuracy of experiment data. The presented approach is easy to operate and accords whit the education notion of exploratory study.Keywords ：Free Fall；Acceleration of gravity；Optical gate；Instantaneous velocity 引言重力加速度g是物理学中的一个重要参量，在实际工作中，常常需要知道重力加速度的大小。

重力加速度g的测定是个传统的实验，其实验方法通常有落体法测量重力加速度、用摆测量重力加速度和用液体测量重力加速度[1]。

其中落体法测量重力加速度又可分为自由落体法、气垫导轨法、斜槽法等[2]。

每种方法都有各自的优缺点，测量结果的精确度也不尽相同，但总体来说所测出的实验数据精确度普遍较低。

传统的用光电门测量重力加速度g时，通常存在多次测量时小球高度不固定、挡光部分不相同等缺点，并且用小球作重物时经过光电门因偏心引起的会引起误差[3]。

为了提高测量结果的精确度，本文采用自己搭建的实验装置（如图一）进行实验，该装置操作方便简单，原理易懂，并且较好的避免了多次测量时小球高度不固定、挡光部分不相同等缺点，用挡光纸片代替小球挡光，避免了用小球作重物时经过光电门因偏心引起的误差。

且本实验有较高的可重复性，为多次测量求平均值提供了客观条件。

1.实验装置设左侧空气中小球质量为m,上端用细绳通过挂钩连接砝码的质量为m；1光电门固定在左侧的铁架台上，并与电脑计时器连接；细绳上悬挂一个质量可以忽略的挡光纸片（其结构如图2所示），位置可以移动，纸片的左边缘与光电门的距离就是小球在空气中的下降距离。

释放装置固定在右侧铁架台上，释放时用薄口刀片在其下部沿尖端方向迅速刮出，可以较好的实现零速释放。

实验证明，该方法具有较好的稳定性和重复性。

Array图1 实验装置计数器所测得的时间就是纸片的有效距离△L 通过 光电门的时间。

当△L 足够小的时候，就可用纸片在光 电门处通过△L 的平均速度代替其瞬时速度。

实验中制 作的纸片中△L= 1.6 mm ，纸片和细线的质量忽略不计，电脑计时器的计时精度为0.01 ms 。

图2 挡光纸片 2.实验原理在本试验装置中，小球在空气中下落，小球会受到自身重力mg 、空气浮力浮f 、空气粘滞力n f 、挂钩摩擦力1f 以及细绳的拉力g m 1五个力的作用，其中空气浮力浮f 和空气粘滞力n f 在本试验中暂不考虑。

因为细线长度固定，所以可取小球的初始位置为坐标原点O ,小球的运动方向为 x 轴正方向，建立整个系统的动力学方程为：212111)(dtx d m m f g m mg +=-- （1）如果用质量为2m 的砝码代替1m ，设挂钩造成的阻力变为2f ，则系统的动力学方程为：222222)(dt x d m m f g m m g +=-- （2）取质量不同的两个配重砝码其主要目的是消去（1）式（2）式中的摩擦力1f 和2f ，当取21m m ≈，则21f f ≈。

联立（1）（2）两式得：1221122222()()()0d x d x m m g m m m m dt dt--+++= （3）做以下变换：dt dx dx dv dt x d v dt dx 11121211,== dtdx dx dv dt x d v dt dx 22222222,== 则（3）式变为：0)()()(22211112='++'+--v v m m v v m m g m m （4）上式中dv v dx '=，而并非加速度a ，dxdv v dt dx dx dv dt dv a ===。

则有：11122221()()m m v v m m v v g m m ''+-+=- （5）3.实验方法与步骤（1）用游标卡尺测定挡光纸片的隙缝宽度△L ，并用天平称出小球质量m ，以及两个配重砝码的质量1m 、2m ；（2）打开电脑计时器，系上重物1m ,让小球在坐标原点O 处自由下落,读出小球下降高度1x ，即挡光纸片距离光电门的距离，平均时间1t ，即光电门连接的电脑计时器读数。

系上重物2m ，重复上述过程,依次记录2x 和2t ，注意每次测量小球需从同一高度自由下落；（3）通过公式Lv t∆=计算出下降不同高度时，挡光隙缝在通过光电门时的瞬时速度，即为小球下落的瞬时速度；（4）作出11v x -和22v x -的拟合曲线,再分别求出两条曲线的导函数图像，即可得到11v x '-和22v x '-的导函数图像；（5） 运用Origin 读取数据，再代入（5）式中，求解，并计算当地重力加速度g 。

4.实验数据处理实验所测为兰州重力加速度g 。

小球质量为8.44 g ，配重砝码1m =2.90g ，2m =3.20g ，L ∆=1.6mm 。

表1 不同下降距离时所测得的时间( 砝码1m =2.90g)通过表1、表2的数据，计算出表3数据，利用软件做出11v x -（曲线A ）和22v x -（曲线B ）的拟合曲线，如下图：图3 拟合曲线m=3.20g)表2 不同下降距离时所测得的时间( 砝码2用挡光纸片的有效距离除以表1及表2中的平均时间，即是挡光纸片在通过光电门时小球下落的瞬时速度，见表3：表3 不同下降距离对应的速度通过软件作出11v x '-和22v x '-的导函数曲线，如下图：图4 微分曲线运用Origin 取数工具，可以读出上图中的数据点，可得到1v '和2v '数据。

因为小球质量为8.44 g ，配重砝码1m =2.90g ，2m =3.20g ，为已知量，所以（5）式可化简为：112211.3411.640.3v v v v g ''-= （6）将对应数据代入（6）式中，便可求的对应的重力加速度1g 、2g ……n g ，最后用最小二乘法处理出重力加速度g =9.73152/m s 。

5.实验注意事项对于小球和配重砝码质量问题，切忌小球的质量m 不可以过大于配重砝码的质量1m 和2m ，如果m 过大于1m 和2m ，小球下降的速度过快，使细线不稳定，挡光纸片在经过光电门时造成读数不稳定，使测量的数据产生较大的误差，从而造成测量结果的不精确。

6.实验拓展对本实验装置稍加改动，可用于液体粘滞系数的测定，实验装置如下图：图5 改进后装置小球在无限宽广的粘滞性较大的液体中缓慢运动时所受到的粘滞阻力，由斯托克斯公式有：rv f πη6=，其中η为液体的粘滞系数，r 为小球的直径，ν是小球的运动速度。

在本试验装置中，小球在装有待测液体的量筒中心下落，小球会受到自身重力mg 、浮力浮f 、粘滞阻力νπηr 6、挂钩摩擦力1f 以及细绳的拉力g m 1五个力的作用，其中粘滞阻力随着速度的增加而增加。

实验中发现，细线和待测液体之间存在较大的粘滞阻力。

根据层流理论，这个力与线的运动速度﹑与线和待测液的接触长度成正比，即kxv f ='，其中 k 的物理意义是单位长度的细线在待测液体中以单位速度运动时受到的阻力。

取线与液面的交点为坐标原点o ，小球的运动方向为 x 轴正方向，建立整个系统的动力学方程为：212111111)(6dtx d m m dt dx kx dt dx r f g m f mg +=-----πη浮（7）如果用质量为2m 的砝码代替1m ，设挂钩造成的阻力变为2f ，则系统的动力学方程为：222222222)(6dt x d m m dt dx kx dt dx r f g m f mg +=-----πη浮 （8）取21m m ≈，则21f f ≈做以下变换：dt dx dx dv dt x d v dt dx 11121211,== dtdx dx dv dt x d v dt dx 22222222,== 联立（1）（2）两式得：)(6)()()()(212122211112v v r v v kx v v m m v v m m g m m -+-='++'+--πη （9）上式两边同除以 )(21v -ν ，并令2122211112)()()(v v v v m m v v m m g m m y -'++'+--= （10）则上式变为 r kx y πη6+= （11） 具体实验操作步骤与测量重力加速度的步骤相近，这里不做过多论述。

7.实验讨论1.测量重力加速的基本思路是：只要关系式中包含有重力加速度g 的，均可考虑能否通过该关系式测出其它物理量，从而间接的测出重力加速度g [4] 。

在设计时，根据公式的不同、仪器选择的不同、数据处理的不同都可以引申出很多测量的方法。

2.光电门的光源不是理想光源，发散角大，光接收部分又易受到干扰，会影响实验精确度[5]。

如果条件允许可以自制激光计时器，可以克服原发光二极管电门定位不准、易受干扰等缺点。

3. 为了提高实验效率以及实验结果的准确度，可以对本文的实验装置进行进一步的改进，主要是利用单片机对原实验的光电信号进行检测，完成较精确的计时、计算、存储、显示以及数据处理等一系列工作，可以极大的改善实验环境、丰富了实验内容以及提高了实验效率[6]。

4. 本实验装置的优点是：较好的避免了多次测量时小球高度不固定、挡光部分不相同等缺点，用挡光纸片代替小球挡光，避免了用小球作重物时经过光电门因偏心引起的误差。