概率论与数理统计
在日常经济生活中的应用
摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。
概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。
本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。
关键词：概率论数理统计经济生活随机变量贝叶斯公式
§2.1 在中奖问题中的应用
集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小.形状.质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1-20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。
摸前交1元钱且在1--20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。
（1） 你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。
（2） 若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 分析：（1）分别求出“摸彩”者获奖5元和获奖10元的概率，即可说明； （2）求出理论上的收益与损失，再比较即可解答．
20
（5+10）-1=-0.25＜0，故每次平均损失0.25元．
§2.2 在经济管理决策中的应用
某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x 、地产
y 和商业z ,其收益和市场状态有关,若把未来市
场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为10.2p =,20.7p =, 30.1p = ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见下表:
请问:该投资者如何投资好?
解 我们先考察数学期望,可知
()()110.230.730.1 4.0E x =⨯+⨯+-⨯=； ()()60.240.710.1 3.9E y =⨯+⨯+-⨯=；
()()100.220.720.1 3.2E z =⨯+⨯+-⨯=；
根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:
()()()()222
1140.2340.7340.115.4D x =-⨯+-⨯+--⨯=;
()()()()222
6 3.90.24 3.90.71 3.90.1 3.29D y =-⨯+-⨯+--⨯=; ()()()()2
2
2
10 3.20.22 3.20.72 3.20.112.96D z =-⨯+-⨯+--⨯=
因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。
§2.3 在经济损失估计中的应用
随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。
利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。
下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。
已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布()
2,N μσ ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。
仓库货物损失金额表
解 利用矩估计法或最大似然估计法可知: μ, 2σ的矩估计量分别为:
1
1n
i i X X
n μ===∑—，2
2
1
1()n i i X X n σ==-∑
从而根据表2 中的数据可计算出:
()1
1000220001300045000126258
μ=
⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()2222
2110002625220002625300026254500026258σ⎡⎤=-⨯+-+-⨯+-⎣
⎦
^
1101562.5=；
1049.55σ=
从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049. 55 元。
§2.4 在求解经济最大利润问题中的应用
如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。
某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x (单位:吨) 服从()300500，
上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1 吨,则公司损失0.5 千元,问公司应该组
织多少货源,可使期望的利润最大?
分析: 此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。
解答：设公司组织该货源a 吨,则显然应该有300a 500≤≤,又记y 为在a 吨货源的条件下的利润,
则利润为需求量的函数,即
()y g x = ,由题设条件知:
当x a ≥时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ；
当x a <时,则售出x 吨(获利1.5x ) 且还有a x -吨积压(获利()0.5a x --) ,所以共获利
1.5x ()0.5a x --，由此得
(){1.52 0.5a X a
X a X a x Y g ≥-<==
从而得
()()()()
500
3001
200
x y g x p x dx g x dx E +∞-∞==⎰⎰ ()5003001120.5 1.5200200
a
a x a dx a dx -+=⎰⎰ ()221
900300200
a -+-=
上述计算表明()y E 是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,450a =吨时,能够使得期望的利润达到最大。
§2.5，在保险问题中的应用
某保险公司有2500个人参加保险,每人每年付1200元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.002,死亡时某家属可向保险公司领得20万元。
问：(1)保险公司亏本的概率多大？
(2)保险公司一年的利润不少于100万元,200万元的概率各位多大？
解：（1）设X 为一年内死亡的人数,则X ～B(2500,0.002),5=np ,99.4=npq
P(亏本)=)15(1)15()30020(≤-==X P X P X P ＞
＞ 00007.099993.01)48.4(1)99
.4515(
1=-=Φ-=-Φ-=
保险公司亏本的概率为0.00007,几乎为零。
（2） P(利润100≥))10020300(≥-=X P 98.0)99
.4510(
)10(=-Φ≈≤=X P
P(利润200≥))20020300(≥-=X P 5.0)99
.4515(
)5(=-Φ≈≤=X P
以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须正确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同。
§2.6，在疾病诊断中的应用
据调查某地居民肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法来检查肝癌：若呈阳性表明患病，若呈阴性表明未患病。
假阳性（即未患病结果却呈阳性）和假阴性（即患病结果却称阴性）的概率分别为0.05 和0.01。
某人经检验结果呈阳性，他确实患肝癌的概率有多大？
令A=“被检验者患肝癌”，B=“检验结果呈阳性”
则0004.0)(=A P 9996.0)(=A P 005.0)(=A B P 01.0)(=A B P 由贝叶斯公式可得 P(A|B)=
)
()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +
05
.09996.0)01.01(004.0)
01.01(004.0⨯--⨯-⨯=
00786.0≈
由此可见，虽然检测结果为阳性，但实际患病的可能性非常之小，这不得让我们大吃一惊。
但其实仔细一想，也是能够理解的。
在上述计算中，假阳性的概率并不大，即检验结果是错误的情况并不多，但肝癌的发病率更小，即绝大多数情况下不会患肝癌，这就使得检验结果是错误的部分P(A)P(B|A)相对很大，这就造成了P(A|B)很小。
但这并不能这种检测方法没有用，像我们在医院检查的时候都会有所谓的“初查”，包括体温，心率，血压等，然后在这之后再对有患病可能性的人进行甲胎蛋白法检查，其准确率就会提高很多。
参考文献
[1] 魏宗书概率论与数理统计（第二版）高等教育出版社，2008.4.
[2] 韦来生数理统计科学出版社, 2008.2
[3] 谢兴武．李宏伟主编,概率统计释难解疑[M]．科学出版社,2007：98-109
[4] 马丽迪，张吉龙. 概率论在经济生活中的多维应用：应用概率与数理统计，。