＝
qq0 1 1 ( − ) 4πε0 ra rb
与路径无关
任意带电体系产生的电场 在电荷系q 的电场中， 在电荷系 1、q2、…的电场中，移动 0，静电力所作功为 的电场中 移动q 静电力所作功为: •b v b v b v v
Aab = ∫ F ⋅ dl = ∫
a( L)
b
a( L)
q0E ⋅ dl
qi ua = ∑ i=1 4πε 0r i
n
dq 对连续分布的带电体： 对连续分布的带电体： ua = ∫ Q 4πε r 0
结论 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独 单独存 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 电势叠加原理。 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
=∫
a( L)
v v q0 (∑Ei ) ⋅ dl
n i=1
q0 q0 a•
L
=∫
b
a( L)
n
v v v v q0 (E1 + E2 + ⋅ ⋅ ⋅ + En ) ⋅ dl
b
q1 qi
q2
qn−1 qn
v v qq 1 1 = ∑∫ q0Ei ⋅ dl＝ ∑ i 0 ( − ) a( L) rbi i=1 i 4πε 0 r i a
v q 1 v0 v v E= r dl = dr r 0 4πε0 r2
1 q ua = ⋅ 4πε0 r
• 点电荷系的电势
q1 q2
r 1 r2
P
v ∞ v v ∞ v v uP = ∫P E ⋅ dl = (E1 + E2 ) ⋅ dl ∫P
v E2 v E1
v v uP = ∫P E ⋅ dl
如图所示, 例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生 的静电场中，有一带电量为q 的静电场中，有一带电量为 的点电荷 求 q 在a 点和 b 点的电势能 解 选无穷远为电势能零点 v ∞ v ∞ Q r d qQ Wa = ∫a qE ⋅ dl = q∫a = 2 4πε0r 4πε0ra v ∞ v qQ Wb = ∫b qE ⋅ dl = 4πε0rb 选 C 点为电势能零点
λ E= 2πε0 x
( a)
λ λ (ln∞ − lnxP ) uP = ∫ dx = 2πε0 πε0 x x 2
∞
P
a
点为电势零点,a点距离直线为 取a点为电势零点 点距离直线为 a 点为电势零点 点距离直线为x
r r x λ dx uP = ∫ E ⋅ dl = ∫ πε0 x x 2 ( P)
v v qQ 1 1 Wa = ∫a qE ⋅ dl = ( − ) 4πε0 ra rc
c
b
∞
c
Q
q
a
v v qQ 1 1 Wb = ∫b qE ⋅ dl = ( − ) 4πε0 rb rc
c
b
v v qQ 1 1 两点间的电势能差为： ( − ) 两点间的电势能差为： Wa −Wb = ∫a qE ⋅ dl = 4πε0 ra rb
6.3
1.静电力的功 静电力的功 单个点电荷产生的电场
电势
6.3.1.静电场力所做的功与路径无关 静电场力所做的功与路径无关 q0
Aab = ∫
b
a( L)
b
v v F ⋅ dl
q0E dl cosθ
v rb r r + dr
O
b
θ
v E
v dl
L
=∫
q
a( L)
b
ra
v rq
0
a
dr
q 1 qq0 rb 1 = ∫ q0 ( )dr = 2 ∫ra r2dr a( L) 4πε0 r 4πε0
结论 电场力做功只与始末位置有关，与路径无关， 电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以 保守场。 静电力是保守力，静电场是保守场 静电力是保守力，静电场是保守场。
6.3.2. 静电场的环路定理 在静电场中，沿闭合路径移动 在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
v v v v Aab = ∫LF ⋅ dl = ∫L q0 E ⋅ dl v v v v b a = ∫a( L ) q0E ⋅ dl + ∫b( L ) q0E ⋅ dl v v b v v b = ∫a( L ) q0E ⋅ dl − ∫a( L ) q0E ⋅ dl
P
X
a
•
P
•
O
λ = (lnxa − lnxp ) 2πε0
λ uP = − lnx 2πε0
xa
xp
取 xa = 1 lnxa = 0 (场中任意一点 的电势表达式最简捷 场中任意一点P的电势表达式最简捷 场中任意一点 的电势表达式最简捷) ,
离带电直线的距离
v v 对球内一点P 对球内一点 1： u内 = ∫P E ⋅ dr
∞
1
∫r
∞
qdr q = 2 4πε0r 4πε0r
+ P1 + + + + +
= ∫ E1dr + ∫ E2dr =
r R
R
∞
q 8πε0R
3
(3R − r )
2 2
R
例 求电荷线密度为λ的无限长带电直线空间中的电势分布 求电荷线密度为λ 解 取无穷远为势能零点
6.3.4. 电势 电势差 • 电势定义
v "0" v Wa Aa"0" ua = = = ∫ E ⋅ dl a q0 q0
ua = ∫
"0" a
v v E ⋅ dl
移动单位正电荷自该点→“势能零点”过程中电场力作的功 。 移动单位正电荷自该点→ 势能零点” 单位正电荷自该点 • 电势差
v bv Wa Wb Aab = ∫ E ⋅ dl uab = ua − ub= − = a q0 q0 q0
2πRλ = 4πε0 R2 + x2
例 半径为 ，带电量为q 的均匀带电球体 半径为R，带电量为 求 带电球体的电势分布 根据高斯定律可得： 解 根据高斯定律可得：
r<R r≥R
qr E1 = 4πε0R3 q E2 = 4πε0r2
∞
+ +
+
+ r
R P
+ +
v v 对球外一点P： 对球外一点 ： u外 = ∫ E2 ⋅ dr = P
⊕
q0
a
v v Aab = ∫ q0 E ⋅ dl = Wa −Wb = −(Wb −Wa )
( a)
(b)
电势能 取电势能零点
W“b” = 0
Wa = Aa"0" = ∫a
"0"
q0 在电场中某点 a 的电势能： 的电势能：
v v q0E ⋅ dl
说明 (1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统所共有。 和产生电场的源电荷系统所共有。 源电荷系统所共有 (2) 电荷在某点电势能的值与电势能零点有关,而两点的差值 电荷在某点电势能的值与电势能零点有关 有关, 与电势能零点无关 与电势能零点无关 (3) 选电势能零点原则： 选电势能零点原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选无穷远处。 电荷分布在有限范围内时 一般选无穷远处 有限范围内 无穷远 • 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 选在有限远处一点 • 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
均匀带电圆环半径为R， 例 均匀带电圆环半径为 ，电荷线密度为λ。 求 圆环轴线上一点的电势 解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq 建立如图坐标系，
dq = λdl
dq λdl dl du = = 4πε0r 4πε0 R2 + x2
uP = ∫0
2πR
dq r
R O P x
λdl
4πε0 R2 + x2
uab = ∫
b a
v v E ⋅ dl
移动单位正电荷自 → 过程中电场力作的功 过程中电场力作的功。 移动单位正电荷自 a→b过程中电场力作的功。 单位正电荷
6.3.5. 电势叠加原理 • 点电荷的电势
ua = ∫
=∫
∞
a
∞
ห้องสมุดไป่ตู้
v v E ⋅ dl
q
r
a
v dl
v E
r
q q 1 dr = 2 4πε0r 4πε0 r
1 2
b
L2
q0
1
2
=0
L1
v v ∫ E ⋅ dl = 0
L
a
讨论 (1) 环路定理要求电力线不能闭合。 环路定理要求电力线不能闭合。 (2) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。 静电场是有源 无旋场，可引进电势能 有源、 电势能。
6.3.3. 电势能 电势能的差 定义： 在电场中a、 定义： q0 在电场中 、b 两点 电势能之差， 电势能之差，等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程 中电场力所做的功。 中电场力所做的功。 q0 b
∞
v v v = ∫P (E1 + E2 ) ⋅ dl
∞
v v ∞v v = ∫P E1 ⋅ dl + ∫P E2 ⋅ dl
∞
=∫
∞
r 1
∞ q1 1 q1 1 q2 q2 dr + ∫ ⋅ + ⋅ dr = 2 2 r2 4πε r 4πε0 r 4πε0 r2 4πε0r 1 0
个点电荷: 对n 个点电荷