Ci:Cj (直接比较） aij ~ 1步强度
( 2) ij
A (a ) a
ais asj
s 1
n
aij(2) ~ 2步强度 更能反映Ci对Cj 的强度 体现多步累积效应
(k ) is
aisasj~ Ci通过Cs 与Cj的比较
( ( Ak (aijk ) ), aijk ) ~ k步强度
3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应
问题 一致阵A, 权向量w=(w1,…wn)T, aij=wi/wj
A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差 尽量小（对所有i,j)。
用拟合方法确定w
wi min,n ) aij w ( i 1, i 1 j 1 wj
~ 再用 w( 3) W ( 3) w( 2) 计算
• 支配元素越多权重越小
w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T 教学、科研靠个人积极性
5. 残缺成对比较阵的处理
2 w1 / w3 1 1 2 1 / 2 1 2 C 1/ 2 1 2 例 A w3 / w1 1 / 2 1 1 / 2 1 辅助矩阵

模糊综合评价
什么是事物的模糊性？
指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性”。 (1)清晰的事物——每个概念的内涵（内在涵义或本质属性） 和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个 概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。 (2)模糊性事物——由于人未认识，或有所认识但信息不够丰富， 使其模糊性不可忽略。它是一种没有绝对明确的外延的事物。 如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、 深浅等的认识就是模糊的。
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应 Ak e 正特征向量w，且 lim T k w, e (1,1,,1)T k e A e 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n ,
n
模糊综合评价
“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一 个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。
“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有 意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对 人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际 上包含了难得模糊的哲理。
模糊综合评价
很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只 能用模糊语言描述。如显示器的舒适性，人员的政治立 场坚定，某建设方案的社会影响等。 评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断 对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”； “优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差” 等程度性的模糊评价。
( 3) ( 2)
w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T 教学、科研任务由上级安排
n1 3, n2 2, ~ w( 2) (3 / 5,2 / 5)T
• 支配元素越多权重越大
用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正
~ ( 2) (n w( 2) , n w( 2) )T /(n w( 2) n w( 2) ) w 1 1 2 2 1 1 2 2
C23
C24
待评价的科技成果
三. 层次分析法的若干问题
• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？
• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？
• 为什么用特征向量作为权向量？ • 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？
n 1
= n是A为一致阵的充要条件。
一致性指标 CI 定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
• 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均
• 囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案； • 粗略——定性化为定量，结果粗糙；
• 主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。
13.2 模糊综合评价
对于指标相关性和筛选的处理
• • • • • 因子分析 主成分分析 回归分析 聚类分析 粗糙集
模糊数学
（一)模糊集合
设 X 为一基本集，若对每个 x X ,都指定 1], 一个数 （x） [0， 则定义模糊子集 A : A
工作选择
发 展
声 誉
关 系
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
节 省 时 间 C1
过河的效益 A
经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C1
0
收 岸 入 间 C2 商 业 C3
自 豪 感 C8
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
i, j , k 0 , k k 0 , a
(k ) is
a 或a
(k ) js
a （s 1, n)
(k ) js
当k足够大, Ak第i行元素反映Ci的权重
求Ak的行和
Ak e 定理1 lim T k w k e Ae
特征向量体现多步累积效应
4.不完全层次结构中组合权向量的计算
第十三章2 层次分析及模糊综合评价
13.1 层次分析模型深入分析 13.2 模糊综合评价
y
13.1 层次分析模型深入分析
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
幂法——迭代算法
1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度
~ 2) 计算 w( k 1) Aw( k )
3）归一化 w
( k 1)
~ ( k 1) / w( k 1) ~ w i
i 1
n
max wi( k 1) wi( k ) ，停止； 4）若 i
否则，k:=k+1, 转2 ~ 1 n wi( k 1) 5) 计算 n i 1 wi( k )
A a1 a2 ai an
模糊数学
（三)截集
模糊集合的 截集是指 X 中对 A 的隶属 度不小于 的一切元素组成的普通集合。 其定义为：
对于给定的实数 (0 1) ，定义
为 A 的 截集，其中， 叫置信水平。
A {x | A ( x) }
模糊综合评价
多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素 很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。 如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很困 难。而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理 论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方 法。 可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量 的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
1.769 Aw 0.974 0.286
Aw w
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
简化 计算
根法——取列向量的几何平均
汽 车 排 放 物 C7
对 水 隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价
水平C2
规模C3
直接 经济
间接 经济 效益 C12
社会 效益
学识
学术 创新
技术 水平
技术 创新
效益
C11
水平
C21
C13
C22
汽车1
汽车2
……
汽车n
层次分析法的优点
• 系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、 综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、 测试分析并列）； • 实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题； • 简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握。
层次分析法的局限
n n
i
2
非线性 最小二乘
2
线性化—— 对数最小二乘
wi min,n ) ln aij ln w ( i 1, i 1 j 1 wj
n n
i
结果与根法相同
多步累积效应
成对比较
2 ( 2) ij
• 按不同准则确定的权向量不 同，特征向量有什么优点。
完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联